Цели и задачи урока: актуализировать представления степени числа, понятие степени с отрицательным показателем, разработать с учащимися правила вычисления степени, а также с использовать эти правила при решении несложных задач.

Здравствуйте, ребята.

Кроме привычных четырех арифметических действий, можно рассмотреть еще одно действие — возведение в степень.

Давайте вспомним определение степени: Степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.
a n = a *a *a *a * … * a
n множителей

Например, 25 = 2 * 2 * 2 *2 *2 = 32
(-4) 3 = (-4 )* ( -4) * ( -4) = - 64.

То есть степень отрицательных чисел определяется так же, как и степень положительных, однако надо учитывать «правило знаков», которое мы использовали при умножении чисел: если число отрицательных множителей четное, то их произведение — число положительное, а если число отрицательных множителей нечетное, то их произведение — число отрицательное.

Поэтому появляется новое правило:
четная степень отрицательного числа — число положительное,
нечетная степень отрицательного числа — число отрицательное.

Например, (-2)3   =  (-2)*(-2)*(-2) = - 8 < 0
(- 1/3)5 = (- 1/3)*(- 1/3)*(- 1/3)*(- 1/3)*(- 1/3) = - 1/243 < 0
(- 6)2  = (-6) * ( -6) = 36 >0
( - 2/3) 4  = ( - 2/3) *( - 2/3) * ( - 2/3) * ( - 2/3) = 16/81 >0

По другому можно было бы сказать: (-2)3   =  (-1)3  * 23 . Такую запись — степени (-1) используют достаточно часто и в общем виде она записывается так: (-2)n   =  (-1)n  * 2n . И тогда очевиднее видно какой знак будет у полученного в результате.

Давайте обратим особое внимание на случай: (-5) 3  и -5 3 , одинаковые ли значения получатся? Давайте проверим, (-5) 3 = (-5)*(-5)*(-5) = -125,  -5 3 = - 5*5*5 = -125. Значение выражений одинаковые, то есть (-5) 3  = -5 3.  Теперь давайте проверим с четной степенью (-2) 4 и -2 4 , вычисляем,
(-2) 4 =  (-2)*(-2)*(-2)* (-2) =16, второе выражение -2 4 = - 2*2*2*2 = -16, получается 16 и -16, то есть выражения не равны друг другу. Обращайте на это внимание во время решения различных задач!

Полезно будет вспомнить, что а 1 = а. Обратное к числу а число можно записать как 1/а и тогда по аналогии его запишем как а  -1 (читается как а в -1 степени).  Таким образом получаем, что а  -1 = 1/а.
Тогда мы сможем определить любую отрицательную степень, как  а  -n =  (а  -1 ) n, то есть как n-ую степень числа а  -1.

Рассмотрим несколько примеров,

  1. 3 -3 =   ( 3 -1 )3 = (1/3) 3 = (1/3) *(1/3) * (1/3) = 1/27
  2. (1/5 ) -2 =  (( 1/5 ) -1 )2=  ( 5 )2 = (5) * (5) = 25

 

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Вычислите
а) ( 1/3 ) -4 =
б) 2 -5 =

Сравните
а)  2 -1  и  (1/2)  -1
б)  3 -2   и  3  -1

Определите знак выражения
а) (-5) 42 * (-45) 40
б) (1/8) 21 * (-4/9) 4

 

Рекомендуемые тесты:
Вычислите: 10 -3 =
Сравните: 12 -1  и  1
Определите знак выражения: в) (-501) 12 * 502 14