Цели и задачи урока: актуализировать понятие и запись строгих и нестрогих неравенств, двойных неравенств, нанесение числовых множеств на координатную прямую, дать понятие решение неравенства, разработать с учащимися варианты нанесения числовых множеств в зависимости от заданных неравенств, а также использовать эти методы при решении несложных задач.

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы с вами поговорим о том, что значит решить неравенство. Для начала вспомним:
Выражение, составленное с помощью чисел или числовых выражений и знаков больше, меньше, называют числовыми неравенствами.
Если неравенства записаны знаками < или >, то их называют строгиминеравенствами. Если неравенства записаны знаками ≤ или ≥, то их называют нестрогими неравенствами.
Существуют двойные неравенства:  -5  < 0 < 5.
Каждому неравенству соответствует множество чисел, удовлетворяющих заданному условию, и эти числа можно отобразить на координатной прямой в виде числового промежутка. Таким образом, каждому неравенству соответствует числовой промежуток на координатной прямой.
Виды числовых промежутков: открытый числовой луч; числовой луч; интервал; числовой отрезок или полуинтервал.
Теперь перейдем к решению неравенств. Вы помните, что решить уравнение, значит найти все его корни или показать, что корней нет. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Давайте сформулируем подобное и для неравенства.

Итак, что значит решить неравенство? Найти числа, которые обращают его в верное неравенство... Точнее: Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Пример 1. Например, неравенство x > 5, число 7 является решением неравенства, потому что  7 > 5 это верно, а вот число 3 не является решением неравенства, потому что   3 > 5 это не верно.
Пример 2. Еще пример, неравенство х ≤ 17. Числа -3, 0, 10 являются решением неравенства, потому что при подстановке в неравенство получаем верные числовые неравенства -3 ≤ 17, 0 ≤ 17, 10 ≤ 17, числа 52, 100 не являются решением неравенства, потому что при подстановке в неравенство мы получаем неверные числовые неравенства 52 ? 17,100 ? 17, что вы думаете про число 17? Является или нет оно решением неравенства? Подставим 17 ≤ 17, это верное числовое неравенство, так как 17 = 17 верно, значит, 17 является решением неравенства.
Но и в первом и во втором примере мы указали лишь несколько решений неравенства.

Решить неравенство — значит указать все его решения. Сделать это можно с помощью указания соответствующего неравенству числового промежутка.

Так в первом примере x > 5 решением будет числовой промежуток (5; + ∞), то есть все числа больше 5.

Во втором примере х ≤ 17 решением будет числовой промежуток ( - ∞; 17 ], то есть все числа меньше 17 и само число 17.

В теме решение задач на доказательство неравенств мы доказали несколько важных свойств, которые можно использовать при решении неравенств.
Одно из них — свойство сложения звучит так: Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a < b, то для любого числа c справедливо неравенство a+c < b+c.

Давайте посмотрим, как нам это может пригодиться. Рассмотрим неравенство х + 3 < 5. Найти х сразу невозможно, но если мы от обеих частей неравенства отнимем число 3, неравенство не изменится.
х + 3 - 3 < 5 - 3
х + 0 < 2
х  < 2
Решением является множество всех чисел меньше 2, запишем ( - ∞; 2).

Пример 3. Давайте попробуем вместе рассуждать еще раз х - 2 > 7. Сначала смотрим, какое число надо прибавить к левой части, чтобы оно взаимоуничтожилось с -2 и х остался один. Действительно это +2, то есть нам надо к обеим частям неравенства прибавить 2.
х - 2 > 7
х - 2 + 2 > 7 + 2
х  > 9
Решением неравенства является множество всех чисел больше 9, запишем (9 ; + ∞).

Другое свойство — свойство умножения звучит следующим образом:
Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство. 
Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c, и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство a < b и c – положительное число, то a·c < b·c, а если c – отрицательное число, то a·c > b·c.
Мы смогли это доказать, значит мы можем это использовать.

Пример 4. Например, неравенство 3х  > 15, можно разделить на 3 обе части
3х  > 15
3х : 3  > 15 : 3
х  > 5
Решением неравенства являются все числа большие 5, запишем ( 5 ; + ∞).

Пример 5. Еще пример 2х < -12, разделим обе части на 2, понятно почему на 2? Чтобы х остался в левой части без множителя, один.
2х < -12
2х : 2 < -12 : 2
х < - 6
Решением неравенства являются все числа меньше -6, запишем (- ∞; - 6).

Пример 6. Последнее задание, которое мы выполним сегодня звучит следующим образом: подберите каждому неравенству его правильный ответ.
3х > 6                                                             x > -2
x + 7 < 5                                                         x > 2
-2x < 4                                                            x < -2

Мы большие молодцы, мы умели решать уравнения, а теперь мы научились решать неравенства. Наверное, кто-то из вас задумался — а для чего? Зачем уметь решать неравенства?

Пример 7. Представьте себе ситуацию: вы собираетесь с дедушкой на лодке по реке, но бабушка через 3 часа ждет вас к чаю на блины. На какое расстояние вы можете отъехать, чтобы не обидеть бабушку и вернуться вовремя, если скорость течения реки 4 км/ч, а скорость вашей моторной лодки в стоячей воде 16 км/ч?

Решение:
Пусть расстояние х км. Тогда время которое вы затратите на путь по течению х / (16+4) ч, а время которое вы затратите на обратный путь х / (16 -4 ) ч. Так как общее время не должно быть больше 3 часов получим неравенство
х / (16+4) + х / (16-4) ≤ 3
Решаем неравенство
х/20 + х/12 ≤ 3
Приводим к общему знаменателю 60
3х / 60 + 5х / 60 ≤ 3
8х / 60 ≤ 3
Умножим обе части на 60
8х ≤ 180
Найдем х, разделив обе части на 8
х ≤ 22, 5
Значит, чтобы вернуться вовремя, надо отплыть не дальше 22, 5 км.

В математике вас ждут еще задачи, которые можно решить с помощью неравенства, а пока вспомним еще раз, что такое решение неравенства с одной переменной.   Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

 Дополнительная информация

            Рекомендуемые тренажеры:

  1. Решить простейшие неравенства

а) 3x > 12
б) x + 3 < 10
в) 2 + x > 0
г)  5x < 0

Ответы:

  1. а) x > 4               б) x < 7           в) x > -2          г)  x < 0

 

Рекомендуемые тесты:

    1. Записать решение неравенства в виде числового промежутка

а)  x > -3
б)  x ≤ 15

  1. Записать неравенства, соответствующие рисунку


а)


б)
Ответы:

  1. а) ( - 3 ; + ∞)      б)   ( - ∞ ; -15 ]
  2. а) x ≥ 11             б) x < 17