Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с понятием о срединном перпендикуляре как о ГМТ плоскости.

Здравствуйте!

В своё время вы рассматривали окружность как множество всех тех и только тех точек, которые равноудалены от некоторой точки, называемой центром окружности. Давайте подумаем, есть ли ещё какие-то старые знакомые, которые также состоят из точек, обладающих каким-то свойством, и притом только таких точек.

Теорема 1.

Серединный перпендикуляр к отрезку является множеством всех тех и только тех точек, которые равноудалены от концов отрезка.

Иными словами, любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, и любая равноудаленная точка лежит на серединном перпендикуляре.

Докажем первое:

Выберем произвольную точку на серединном перпендикуляре и соединим с концами отрезка. Образовались равные по двум катетам прямоугольные треугольники, значит их гипотенузы равны.

Докажем второе:

Пусть точка равноудалена от концов отрезка, тогда, если соединить её с концами отрезка, образуется равнобедренный треугольник, а в нём высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой, а тогда точка лежит на серединном перпендикуляре.

 Такого рода утверждения называют характеристическим свойством – в случае, если этим свойством обладает упомянутый в формулировке объект, и только он.

Давайте теперь рассмотрим треугольник.

Теорема 2.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Давайте посмотрим: все точки первого серединного перпендикуляра равноудалены от концов первой стороны (например, A и B), второго – второй стороны (B и C). Но тогда получается, что точка их пересечения (которая обязательно существует, ибо иначе стороны треугольника параллельны) равноудалена от всех трёх вершин треугольника, и тем самым лежит на третьем серединном перпендикуляре.

Пример.

В четырёхугольнике ABCD: AD = BC, серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P. Найдите угол BCP, если угол ADP = 30о.

Сегодня мы с вами обсудили характеристическое свойство серединного перпендикуляра, описывающее его как ГМТ плоскости. В дальнейшем нам ещё встретятся подобные фигуры.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 680а, № 680б

Рекомендуемые тесты:

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 681, № 685