Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с понятием о биссектрисе угла, как о ГМТ плоскости.

Здравствуйте!

В прошлый раз мы обсудили серединный перпендикуляр как геометрическое место точек плоскости. Давайте теперь рассмотрим ещё одну фигуру, задающуюся характеристическим свойством.

Теорема 1.

Биссектриса угла является геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла. Иными словами, любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла, и любая равноудалённая точка лежит на биссектрисе.

Докажем первое:

Выберем произвольную точку на биссектрисе и опустим перпендикуляры на стороны угла. Образовались равные по гипотенузе и острому углу прямоугольные треугольники, значит, их катеты равны, и т. о. равны расстояния от выбранной точки до сторон угла.

Докажем второе:

Пусть точка равноудалена от сторон угла, тогда, если соединить её с вершиной угла, образуются два равных по гипотенузе и катету прямоугольных треугольника, а тогда у них равны и соответствующие острые углы, а тогда точка лежит на биссектрисе.

Иногда данную теорему называют вторым определением биссектрисы угла, и тогда доказывают равнозначность определений.

Давайте теперь рассмотрим треугольник.

Теорема 2.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Давайте посмотрим: все точки первой биссектрисы равноудалены от первой и второй сторон, второй – от второй и третьей сторон. Но тогда получается, что точка их пересечения (которая обязательно существует, ибо иначе стороны треугольника параллельны) равноудалена от всех трёх сторон треугольника, и тем самым лежит на третьей биссектрисе.

Теорема 3.

Биссектриса угла треугольника и биссектрис внешних углов треугольника, с ней не смежных, пересекаются в одной точке.

Доказательство аналогично.

Пример.

В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает биссектрису угла, смежного с углом C, в точке M. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если расстояние от точки M до прямой BC равно 4.

Сегодня мы с вами обсудили характеристическое свойство биссектрисы, описывающее её как ГМТ плоскости. В дальнейшем нам придётся этим пользоваться, и не раз.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 679а, № 684.

Рекомендуемые тесты:

1) Бис­сек­три­сы АА1 и ВВ1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Най­ди­те угол ACO если угол AOB 125o.

2) Найдите геометрическое место внутренних точек данного угла, сумма расстояний от которых до сторон этого угла равна заданной величине.