Цели и задачи урока: выработать представление об утверждениях, связанных с ГМТ как об инструменте решения задач.

Здравствуйте!

Мы с вами обсудили биссектрисы и серединные перпендикуляры как ГМТ точек плоскости. Давайте попробуем теперь не забывать об этом, решая задачи.

Пример 1

Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении  2 : 5  (меньшая часть – при гипотенузе). Найдите этот угол.

Пусть M – середина гипотенузы AB, K – точка пересечения указанного перпендикуляра с катетом BC, 7α – искомый угол CAB. Тогда  ∠CBA = ∠KAB = 2α  (треугольник AKB – равнобедренный). Следовательно,  2α + 7α = 90° = 10°.

Пример 2

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причём X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причём X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

Пример 3

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы при вершинах A и D равны. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD. Докажите, что диагонали AC и BD равны.

Точка P лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам AB и CD, поэтому AP = BP  и  CP = DP.  По теореме о внешнем угле треугольника 
BPD = 2∠BAD = 2∠ADC = ∠APC,  значит, треугольники BPD и APC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BD = AC.

Сегодня мы с вами попробовали применить наши знания о соотношениях сторон и углов треугольников на практике, и у нас всё получилось!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия, образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1. Вариант I: 2, 3

Рекомендуемые тесты:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия, образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1. Вариант II: 2, 4а, 4б