Цели и задачи урока: научиться решать уравнения третьей и четвёртой степени с помощью разложения на множители, развивать умение раскладывать выражения на множители с помощью метода группировки и расщепления.

Всем привет!

Сегодня мы с вами порешаем уравнения более высоких степеней. Решать мы их будем так же, как мы решали квадратные уравнения. Наша основная цель: разложить на множители левую часть, а после этого каждый из множителей приравнять к нулю.

Пример 1:

Решить уравнение:

х3 + 2х2 – х – 2 = 0

метод группировки

х2(х + 2) – (х + 2) = 0

2 - 1)(х + 2) = 0

(х - 1)(х + 1)(х + 2) = 0

х = 1; х = –1; х = –2

Ответ: 2; 1; 0.

Пример 2:

Решить уравнение:

х3 - 5х2 + 4х – 20 = 0

Метод группировки:

х2(х – 5) + 4(х – 5) = 0

2 + 4)(х – 5) = 0

х2 = –4; – квадрат не может быть отрицательным! х = 5;

х = 5

Ответ: 5.

Пример 3:

Решить уравнение:

х3 + 2х2 + 2х + 1 = 0

х3 + 1 + 2х(х + 1)  = 0

(х + 1)(х2 – х + 2) + 2х(х + 1) = 0

(х + 1)(х2 + х + 1) = 0

х = –1; х2 + х + 1 = 0

Ответ: 1.

Пример 4:

Решить уравнение:

х4 – 4х3 + 6х2 – 4х + 1 = 0

Метод расщепления:

х4 – х3 – 3х3 + 3х2 + 3х2 – 3х – х + 1 = 0

х3(х – 1) – 3х2(х – 1) + 3х(х – 1) – (х – 1) = 0

(х – 1)(х3 – 3х2 + 3х – 1) = 0

(х – 1)(х – 1)3 = 0

(х – 1)4 = 0

х = 1

Ответ: 1.

Итак, сегодня мы порешали уравнения третей и четвёртой степени методами группировки и расщепления. Есть и другие методы решения уравнений высших степеней, вот об одном из них мы поговорим на следующем уроке.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 8 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 1, § 7, № 7.18.