Цели и задачи урока: выработать представление об утверждениях, связанных с ГМТ как об инструменте решения задач.

Здравствуйте!

Мы с вами обсудили биссектрисы и серединные перпендикуляры как ГМТ точек плоскости. Давайте попробуем теперь не забывать об этом, решая задачи.

Пример 1

Диагонали четырёхугольника делят его углы пополам. Докажите, что в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

Окружность это ГМТ точек, равноудаленных от центра. Значит если она вписана – то есть касается всех сторон четырехугольника, то есть точка, равноудаленная от сторон. Но биссектрисы равноудалены от сторон, а значит их точка пересечения равноудалена от всех сторон.

Пример 2.

Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

Две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре части. Если точка лежит на биссектрисе одного из четырёх полученных углов, то она равноудалена от данных прямых. 

Обратно, произвольная точка плоскости, не лежащая ни на одной из данных прямых, расположена внутри одного из углов. Если она равноудалена от данных прямых, то она лежит на биссектрисе этого угла. Очевидно, что точка пересечения данных прямых также удовлетворяет условию задачи.

Пример 3.

Точка O лежит на диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что  OC = OD  и что точка O одинаково удалена от прямых DA, AB и BC. Найдите углы четырёхугольника, если  ∠AOB = 110°  и ∠COD = 90°.

 Из условия следует, что COD – равнобедренный прямоугольный треугольник, а AO и BO – биссектрисы соответственно углов A и B четырёхугольника. Пусть OE и OF – перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые AD и BC. Поскольку точка O равноудалена от прямых DA и BC, то  OF = OE.  Поэтому прямоугольные треугольники OFC и OED равны по гипотенузе и катету. Далее можно рассуждать по-разному. 

∠ADO = ∠BCO,  значит,  ∠ADС = ∠BCD.  Так как  ∠A + ∠B = 2∠BAO + 2∠AВO = 2∠BOС = 2(180° – 110°) = 140°,  то  ∠ADС = ½ (360° – 140°) = 110°.  Отсюда  ∠ADO = 110° – 45° = 65°,  ∠BAO = ∠DAO = 90° – 65° = 25°,  ∠ABO = 70° – 25° = 45°.

Пример 4.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.

Точка E равноудалена от прямых ADBC и AB, поскольку она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E – точка пересечения биссектрис угла и внешних углов треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A треугольника ABD, а так как AD – биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60°, а  ∠A = 120°.

Сегодня мы с вами попробовали применить наши знания о соотношениях сторон и углов треугольников на практике, и у нас всё получилось!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

 1.      Точка O лежит на диагонали KM выпуклого четырёхугольника KLMN. Известно, что  OM = ON  и что точка O одинаково удалена от прямых NK, KL и LM. Найдите углы четырёхугольника, если  ∠LOM = 55°  и  ∠KON = 90°.

Рекомендуемые тесты:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия: № 24, № 28