Цели и задачи урока: на практических примерах показать, как появляется функция, научиться находить значение функции в точке.
Всем привет!
В прошлый раз мы с вами занимались функциями. Ввели понятие функции, но ввели только теоретически. Возник вопрос: «Откуда функции берутся?». Для ответа на вопрос, рассмотрим пример.
Задача 1:
Допустим, есть машина, едет со скоростью 60 км/ч. Какой путь она пройдёт?
В данной задаче не хватает одного данного – времени, за которое машина проезжает данный путь.
Решение:
Если t = 1 час, то машина проедет – 60 км, если 3 ч – 180 км, если 7 ч – 420 км.
Нужно за t обозначить время движения автомобиля, тогда имеем, что путь, который проедет машина, будет равен 60t км.
Напоминаю, что функция – это некое правило, которое сопоставляет значению нашей исходной переменной, независимой переменной, в данном случае t, значение самой функции, т. е. это правило в данном случае по каждому t найдёт путь S, умножив t на 60.
Получили функцию S = 60t или f(t) = 60t. А можно и S(t) = 60t.
Чуть усложним задачу.
Задача 2:
Допустим, нам известно, что на заводе за первый час изготовлено 200 автомобилей, а затем производительность изменилась до 300 автомобилей в час – и уже не менялась в оставшееся время.
Сколько автомобилей было изготовлено?
Решение:
Опять же, не хватает времени!
Если за 2 часа – 500 автомобилей. Если за 3 – 800.
За t часов – 200 + 300(t – 1)
f(t) = 200 + 300 (t – 1)
f(t) = 300t – 100
Мы получили функцию f(t), которая показывает, сколько автомобилей было сделано через t.
В каждом из предыдущих примеров мы получили функцию. В последнем: f(t) = 300t – 100.
Как узнать, сколько автомобилей будет изготовлено через 6 часов?
Просто подставить в формулу t = 6!
Получим: f(6) = 1800 – 100 = 1700.
Это и есть значение функции в точке 6
Пример 1:
f(x) = x2 – 3x + 1. Найти значение функции в точке x = 4, x = –0,5?
Решение:
Подставляем число вместо всех вхождений x.
f(4) = 42 – 3 ⋅ 4 + 1 = 16 – 12 + 1 = 5
f(–0,5) = (–0,5)2 – 3(–0,5) + 1 =
0,25 + 1,5 + 1 =2 ,75
Иногда сначала выгодно упростить, и лишь затем вычислять значение:
Пример 2:
f(x) = x2 + 2x + 1. Найти f(49) = ?
Решение:
f(x) = (x + 1)2
f(49) = (49 + 1)2 = 502 = 2500
Как мы помним, иногда функция бывает задана графически.
В этом случае, чтобы найти значение функции в точке, например, в точке 3, нужно:
1) Найти на оси абсцисс точку 3;
2) Найти на графике функции точку с абсциссой 3 (для этого – провести мысленно вертикальную прямую!);
3) Найти ординату этой точки. Это и есть значение функции в точке 3.
Пример 3:
По графику найти значения в точках: 7; 10; 2.
Решение:
По графику видно, что
f(7) = 6,
f(10) = 4,
f(2) = 0.
Итак, сегодня мы с вами познакомились с тем, откуда появляются функции на практических задачах, а так же выяснили, как находить значение функции в различных точках.
Спасибо за внимание!
До скорых встреч!
Дополнительная информация
Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 7 кл., Макарычев, Миндюк и др. 2013) Глава 2, § 13, № 267; 268; § 14: № 286.
Рекомендуемые тесты: (из учебника Алгебра 7 кл., Макарычев, Миндюк и др. 2013) Глава 2, § 13, № 269; § 14: № 285.