Цели и задачи урока: научиться определять количество корней уравнения, не решая его.

Всем привет! 

– Что такое линейное уравнение?

– Это уравнение вида ах = b.

Соответственно, уравнение, сводящееся к линейному – это любое уравнение, которое тождественными преобразованиями можно свести к уравнению ах = b. Таким образом, если у меня дано какое-то либо уравнение, в левой и правой частях находятся либо слагаемые вида ax, либо числа, то такое уравнение сводится к линейному.

Сегодня мы будем разбирать похожие уравнения, причём будем разбирать вот с какой стороны: заметим, что линейные уравнения имеют прямое отношение к линейной функции, графиком линейной функции является прямая. Значит, мы будем говорить о том, как располагается данная прямая. На основании этого будем делать вывод о количестве корней уравнения, не решая их.

Пример 1:

Сколько же корней имеет линейное уравнение ax = b?

Если а ≠ 0, то слева задается график прямой пропорциональности, то есть прямая, проходящая через начало координат.

Правая же часть задаёт горизонтальную прямую у = b.

Так что, если а ≠ 0 – решений нет.

Если а = 0, то при b = 0 – любое число, а при b ≠ 0 – нет решений

Пример 2:

Сколько корней имеет уравнение 5х = 2?

Ответ: 1 корень.

Пример 3:

Сколько корней имеет уравнение 3х + 2 = 2х + 3?

Решение:

Прямые, задаваемые частями уравнения, имеют разные угловые коэффициенты, значит, они пересекаются ровно в 1 точке.

Ответ: 1.

Пример 4:

Сколько корней имеет уравнение

2x + 3x – 7,6 + 17x – 4,2 = 5x + 15x – 2,73 + 2x.

Решение:

Приведём подобные в правой и в левой части уравнения:

22x – 11,8 = 22x – 2,73

В левой части угловой коэффициент получается 22, в правой – тоже 22. При этом свободные коэффициенты не равны. Значит, прямые параллельны и решений нет.

Ответ: 0.

Пример 5:

Сколько корней имеет уравнение

Решение:

В левой части угловой коэффициент получается положительным, в правой – отрицательным. Значит, угловые коэффициенты не равны. Значит, прямые пересекаются в одной точке

Ответ: 1.

Обратите внимание, как сработал наш способ в последнем примере. Если бы мы решали алгебраически, то нам бы пришлось делать очень серьёзные выкладки. Но так как я понимаю, что разные угловые коэффициенты соответствуют пересекающимся прямым, а одинаковые угловые коэффициенты параллельным прямым, то задача становится легче.

Обратите внимание, что этот графический способ прекрасно помогает справиться с задачей «сколько корней имеет уравнение». Если угловые коэффициенты не совпадают, то мы сразу можем писать в ответ – один корень, потому что прямые могут пересекаться только в одной точке. Если же угловые коэффициенты совпали, как в примере № 4, то тут нужно понять, параллельны ли прямые, в таком случае решений нет, или прямые совпадают – в таком случае бесконечно много решений.

До скорых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 7 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 2, § 10, № 10.3; 10.5; 10.6.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 2, § 10, № 10.8; 10.9.