Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с некоторыми видами задач, использующих в своём решении третий признак равенства треугольников.

Здравствуйте!

В прошлый раз мы с вами выяснили более удобный способ доказательства равенства треугольников, чем доказательство просто по определению. Давайте теперь попробуем применить его.

Пример №1:

Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AC выбрана точка K так, что AKC – равнобедренный треугольник с основанием AC. Докажите, что тогда прямая BK перпендикулярна прямой AC.

Треугольники ABK и AKB равны по третьему признаку, а значит BM – биссектриса ABC, а тогда ещё и высота.

Пример №2:

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой, а точки E1 и E2  по разную сторону от неё. Докажите, что если треугольники ABE1 и ABE2 равны, то треугольники CDE1 и CDE2 тоже равны.

Пусть A, B, C, D – последовательные точки на данной прямой. Тогда треугольники AE1C и AE2C равны по двум сторонам (AE1 = AE2, AC – общая) и углу между ними (∠E1AC = ∠E2AC). Поэтому CE1 = CE2. Аналогично докажем, что DE1 = DE2. Следовательно, треугольники CDE1 и CDE2 равны по трём сторонам.

Пример №3:

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.

Отсекаемые треугольники равны, а значит, соответствующие углы равны, а значит и исходные треугольники равны по первому признаку.

Пример №4:

Отрезки AB и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки AC, CB, BD и AD равны, то луч AB является биссектрисой угла CAD, луч CD – биссектрисой угла ACB, а CD перпендикулярен AB.

Треугольники ACD и BCD равны по трём сторонам. Поэтому ∠ACD = ∠BCD. Аналогично, ∠CAB = ∠DAB.
Пусть отрезки AB и CD пересекаются в точке M. Тогда CM – биссектриса равнобедренного треугольника ACB (AB – основание). Следовательно, CM – высота этого треугольника.

 

Сегодня мы с вами убедились в удобстве применения признака равенства треугольников вместо определения.

 Дополнительная информация

     Рекомендуемые задачи:

Б.Г. Зив, В.М.Мейлер, Геометрия, дидактические материалы, 7 класс, С-9: В3.2, В5.2, В6.2.

Рекомендуемые тесты:

Б.Г. Зив, В.М.Мейлер, Геометрия, дидактические материалы, 7 класс, С-9:  В7.2, В8.2.