Геометрия. 8 класс

Урок 6. Прямоугольник. Ромб. Квадрат


Понятие прямоугольника всем знакомо с начальной школы. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:
- противоположные стороны равны и параллельны;
- противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180°;
- особо можно выделить, что все углы равны;
- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У прямоугольника есть особое свойство: диагонали прямоугольника равны.





ЭлементыСвойства от параллелограммаОсобое свойство
СтороныПротивоположные стороны равны и параллельны
УглыПротивоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180°Все углы равны
ДиагоналиДиагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополамДиагонали равны

Для доказательства рассмотрим прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD.

Прямоугольные треугольники ABD и DCA равны по двум катетам, т.к. AD – общий катет, AB = CD. Следовательно, AC = BD.
Для того, чтобы определить, является ли данный параллелограмм прямоугольником нужен признак прямоугольника. Он вытекает из особого свойства прямоугольника: если в паралеллограмме диагонали равны, то этот паралеллограмм – прямоугольник.
Рассмотрим параллелограмм ABCD с равными диагоналями AC и BD.
ABD и DCA равны по трем сторонам: AC = BD (по условию), AB = CD (свойство параллелограмма). AD – общая сторона. Следовательно, ∠BAD = ∠CDA, но ∠BAD + ∠CDA = 180° и ∠BAD = ∠BCD, ∠CDA = ∠CDA, поэтому ∠BAD = ∠BCD = ∠CDA = ∠CDA = 90° значит, ABCD – прямоугольник.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом, он обладает всеми его свойствами, а из определения ромба следует, что все стороны равны.
Ромб обладает и особым свойством: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.





ЭлементыСвойства от параллелограммаОсобое свойство
СтороныПротивоположные стороны равны и параллельныВсе стороны равны
УглыПротивоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180°
ДиагоналиДиагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополамДиагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам

Для доказательства особого свойства рассмотрим ромб ABCD с диагоналями AC и BD.

AB = AD (ромб). Треугольник ABD – равнобедренный, AO – медиана, а значит высота и биссектриса этого треугольника. Следовательно, ACBD, AC – биссектриса ∠BAD.
Признаки ромба получаются из особого свойства ромба:
- если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом
- если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то он является ромбом.
Еще один знакомый с начальной школы четырёхугольник – это квадрат. Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами или ромб с прямыми углами.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6 angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6