Алгебра. 9 класс

Урок 13. Дробно-линейная функция и её график

Конспект

Функция обратной пропорциональности

Графиком этой функции является гипербола.

Областью определения данной функции является всё множество чисел отличных от нуля.

Возьмём функцию , х > 0, k = 2

Обратим внимание, что при неограниченном возрастании положительных значений аргумента, сами значения функции убывают и стремятся к нулю.

Такая же ситуация происходит при неограниченном уменьшении аргумента функции, значения функции возрастают и стремятся к нулю.

x0,250,41248
y85210,50,25
х–0,25–0,4–1–2–4–8
y–8–5–2–1–0,5–0,25

При x > 0 и x → +∞, то y → 0; при x < 0 и x → –∞, то y → 0.

Обратим внимание на график.

При возрастании положительных значений аргумента x (x → +∞), значения функции y остаются положительными, но убывают и стремятся к нулю. График неограниченно приближается к оси x.

В этом случае говорят, что ось x является асимптотой графика функции.

Для функции при k > 0 ось абсцисс является асимптотой функции.

Асимптотой графика функции называется прямая линия, к которой приближаются бесконечно близко точки графика функции по мере их удаления в бесконечность.

Гипербола имеет еще одну асимптоту – ось ординат.

Ось ординат является асимптотой функции при k > 0.

Функция при k < 0 также будет иметь две асимптоты в виде осей х и y.

Дробно-линейная функция

Функция, в правой части которой представлена дробь с числителем в виде многочлена первой степени или числа отличного от нуля, а знаменатель является многочленом первой степени, называется дробно-линейной функцией.

Пример функции: .

Общий вид дробно-линейной функции

, где

х – переменная; a, b, c, d – произвольные числа.

Важно! с ≠ 0, ad – bc ≠ 0

Пояснение ограничений.

    с = 0

    . Получили линейную функцию.

    ad – bc ≠ 0

Рассмотрим на примере функции . 3 • 4 – 6 • 2 = 0.

 – константа (число).

Правила параллельного переноса графиков функций

График функции y = f(x) + n → y = f(x), при n > 0 – вверх по оси y, n < 0 – вниз по оси y.

График функции y = f(x – m) → y = f(x – m), при m > 0 – вправо по оси x, m < 0 – влево по оси x.

График гиперболы можно переносить вдоль осей по схожему принципу.

Рассмотрим пример №1..

Произведём преобразования, приведём функцию к виду

.

.

Данный вид соответствует тому к которому надо было привести функцию: k = 9, m = 1, n = 3.

График, полученной нами функции можно получить с помощью двух параллельных переносов в соответствии со значениями m = 1 по оси x вправо и n = 3 по оси y вверх графика функции .

Функция . Т. к. это гипербола, т. е. имеет две ветви, то составим две таблицы значений.

x11,5358
y9631,81,1
x–1–1,5–3–5–8
y–9–6–3–1,8–1,1

Построим красным пунктиром асимптоты к нашей целевой функции, так как они тоже сдвинутся на значения m и n.

Т. е., выделив из дроби целую часть, мы нашли асимптоты будущего графика.

Выполним построение гиперболы по указанным значениям.

График функции

x0–0,5–2–4–9
y–6–301,22,1
x22,5469
y12964,84

Рассмотрим пример №2.

Построить график функции .

Найдём асимптоты будущего графика функции.

.

k = 5; m = –1; n = –4.

Асимптоты будущего графика функции нужно сместить на 1 единицу влево по оси x и на 4 единицы вниз по оси y.

Определена «родительская» функция .

Выполним построение гиперболы по указанным значениям.

График функции

x–0,501,549
y61–2–3–3,5
x–11–6–3–2–1,5
y–4,5–5–6,5–9–14

Выводы.

    • Любую дробно-линейную функцию вида можно представить в виде .
    • Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно построить из гиперболы функции с помощью двух параллельных переносов.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6 angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6