Геометрия. 8 класс

Урок 19. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Конспект
Теорема: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямоуго угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Дано: ∆ABC, ∠С=90°, CDAB
Доказать: ∆ACD ~ ∆ABC, ∆BCD ~ ∆BAC, ∆BCD ~ ∆CAD
Доказательство:
А − общий угол, ∠АСВ = ∠ADC = 90°, следовательно, ∆ACD ~ ∆ABC
B – общий угол, ∠АСВ = ∠BDC = 90°, следовательно, ∆BCD ~ ∆BAC
Заметим, что ∠САВ = ∠BСD
BDC = ∠ADC = 90°, ∠А = ∠BСD, следовательно ∆BCD ~ ∆CAD
Отрезок MN называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и CD, если выполняется равенство для длин отрезков
MN = √(ABCD)
Пример:
АВ = 5 см, CD = 125 см, MN = 25 см.
Является ли отрезок MN средним пропорциональным между отрезками AB и CD?
Решение:
Воспользуемся равенством MN = √(ABCD)
25 = √(5 ∙ 125)
25 = √625 – верно, следовательно, отрезок MN является средним пропорциональным между отрезками AB и CD.
Докажем утверждение: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Дано: ∆ABC, ∠С = 90°, CDAB

Доказать: CD = √(ADBD)
Доказательство:
BCD ~ ∆CAD, поэтому AD/CD = CD/BD, следовательно, CD2 = ADBD, откуда CD = √(ADBD).
Для прямоугольного треугольника верно еще одно утверждение: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы.
Таким образом, в прямоугольном треугольнике выполняются равенства:
CD = √(ADBD)
AC = √(ABAD) или BC = √(ABBD)

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6 angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6