Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 35. Формулы двойного аргумента

Формулы двойного аргумента
Формулы двойного аргумента
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

На уроке мы доказали формулы:

1) Синуса двойного аргумента $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

2) Косинуса двойного аргумента $\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha − \sin^{2}\alpha$, $\cos2\alpha = 1 − 2\sin^{2}\alpha$ или $\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha − 1$

3) Тангенса двойного аргумента $tg2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 − tg^{2}\alpha}$, где $1 − tg^{2}\alpha \neq 0$

4) Котангенса двойного аргумента $ctg2\alpha = \frac{ctg^{2}\alpha − 1}{2ctg\alpha}$, где $ctg\alpha \neq 0$

5) Синуса тройного угла $\sin3\alpha = 3\sin\alpha − 4 \sin^{3}\alpha$

6) Косинуса тройного угла $\cos3\alpha = 4 \cos^{3}\alpha − 3\cos\alpha $

Формулы двойного аргумента

Докажем формулу для тройного угла.

Представим $3\alpha = 2\alpha + \alpha$.

По формуле синуса суммы получим :

$\sin3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin2\alpha\cos\alpha + \cos2\alpha\sin\alpha =\hspace{2pt}$

(используем формулы двойного аргумента)

$=\hspace{2pt}2\sin\alpha\cos^{2}\alpha + (\cos^{2}\alpha − \sin^{2}\alpha)\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha\sin\alpha − \sin^{3}\alpha = 3\sin\alpha\cos^{2}\alpha \sin^{3}\alpha$

(применяем формулу $\hspace{2pt}\cos^{2}\alpha = 1 − \sin^{2}\alpha$)

получаем:

$\hspace{2pt}3\sin\alpha(1 − \sin^{2}\alpha) − \sin^{3}\alpha = 3\sin\alpha − 4\sin^{3}\alpha$.

Получили формулу синуса тройного угла:

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha − 4\sin^{3}\alpha.$

Можно доказать, что косинус тройного угла вычисляется по формуле:

$\cos3\alpha = 4\cos^{3}\alpha − 3\cos\alpha.$

Пример:

Найти $\sin3\alpha$, если $\sin\alpha = 0.2$.

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha − 4\sin^{3}\alpha = 3\cdot0,2−4\cdot0,008 = 0,632$.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6