Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 37. Формулы приведения

Формулы приведения
Формулы приведения
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

На этом уроке мы узнали формулы приведения, позволяющие нам синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

1)Формулы приведения для синуса

$ sin (\pi - \alpha) =sin \alpha$

$ sin (\pi - \alpha) =-sin \alpha $

$ sin (\frac{\pi}{2} +\alpha) = cos \alpha$

$ sin (\frac{3\pi}{2} +\alpha) =- cos \alpha$

$ sin (\frac{\pi}{2} -\alpha) = cos \alpha$

$ sin (\frac{3\pi}{2} -\alpha) =- cos \alpha$

2)Формулы приведения для косинуса

$ cos (\pi - \alpha) =-cos \alpha$

$ cos (\pi +\alpha) =-cos \alpha$

$ cos (\frac{\pi}{2} +\alpha) =-sin \alpha$

$ cos (\frac{\pi}{2}-\alpha) =sin \alpha$

$ cos(\frac{3\pi}{2} -\alpha) =-sin \alpha$

$ cos(\frac{3\pi}{2} +\alpha) =sin \alpha$

3)Формулы приведения для тангенса и котангенса

$ tg (\alpha + \pi k) = tg \alpha, где k \in Z$

$ ctg (\alpha + \pi k) = ctg \alpha, где k \in Z$

$ tg (\frac{\pi}{2} +\alpha) =-ctg \alpha$

$ tg (\frac{3\pi}{2} -\alpha) =-ctg \alpha$

$ tg (\frac{3\pi}{2} +\alpha) =ctg \alpha$

Формулы приведения

Вычислите:

$ sin^2 \frac {\pi} {8} + 3 cos^2\frac {3\pi} {8} $

Заметим, что $\frac {3\pi} {8} =\frac {\pi} {2} -\frac {\pi} {8} $, а значит можно с помощью формулы приведения заменить косинус угла $\frac {3\pi} {8} $ на синус угла $\frac {\pi} {8} $ , так как $cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin \alpha $

То есть, $ cos^2 \frac {3\pi} {8} =cos^2 (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = sin^2 \frac{\pi}{8} $

Тогда выражение примет вид: $ sin^2 \frac {\pi} {8} + 3 sin^2\frac {\pi} {8}=4sin^2 \frac{\pi}{8} $

Используем формулу половинного угла $sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac {1 - cos\alpha}{2}$, с помощью которой понизится степень синуса и вдвое увеличится угол, т.е. $ \frac {\pi}{8} $ станет $ 2 \frac {\pi}{8} =\frac {\pi}{4} $, а это табличное значение.


$ 4 sin ^2 \frac {\pi}{8} = 4 \frac{ 1 - cos \frac {\pi}{4}} {2} = 4\frac{ 1 - \frac {\sqrt{2}}{2}} {2} =2(1 - \frac {\sqrt{2}}{2})=2-\sqrt{2}$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6