ВАЖНО!

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичный логарифм числа – это логарифм по основанию 10 и пишут $\lg{b}$ вместо $\log_{10}{b}$.

$\lg{1}=0;\lg{10}=1;\lg{1000}=3$

Натуральный логарифм числа – это логарифм этого числа по основанию e, где e – иррациональное число $(e\approx2.7)$ и пишут $\ln{b}$ вместо $\log_{e}{b}$.

$\ln{e}=1; \ln{1}=0$

Формула перехода к новому основанию

$\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$

$\log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}$

и $\log_{a}{b}\cdot\log_{b}{a}=1.$

Формула перехода к десятичным логарифмам:

$\log_{a}{b}=\frac{\lg{b}}{\lg{a}}$

Формула перехода к натуральным логарифмам:

$\log_{a}{b}=\frac{\ln{b}}{\ln{a}}$

Решим уравнение:

$\frac{\log_{5}{(4x)}}{\log_{5}{3}}-\log_{3}{2}=0$

1. Перейдем к одному основанию 5:

$\log_{3}{2}=\frac{\log_{5}{2}}{\log_{5}{3}}$

$\frac{\log_{5}{(4x)}}{\log_{5}{3}}-\frac{\log_{5}{2}}{\log_{5}{3}}=0$

$\frac{\log_{5}{(4x)}-\log_{5}{2}}{\log_{5}{3}}=0$

2. Применим свойство логарифма частного:

$\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}$

$\frac{\log_{5}{(2x)}}{\log_{5}{3}}=0$

3. Дробь равна нулю при $\log_{5}{(2x)}=0$

4. Из определение логарифма.

$2x=5^{0}$

5. Найдем x:

2x = 1

x = 0,5

Ответ: 0,5

Задача 1.

Вычислить $100^{0,5+lg\sqrt{5}}$.

1.Используем свойство степеней $a^{n+m}=a^{n}⋅a^{m}$.

2.Заменим 100=$10^{2}$.

$100^{0,5+lg\sqrt{5}}=100^{0,5}\cdot 100^{lg\sqrt{5}}=(10^{2})^{0,5}\cdot10^{2lg\sqrt{5}}=10^{2⋅0,5}\cdot (10^{lg\sqrt{5}})^{2}$=...

3.Применим основное логарифмическое тождество

$a^{log_{a}b}=b$

...=$10^{1}\cdot (\sqrt{5})^{2}=10\cdot 5=50$.

Ответ: 50.

Задача 2.

Вычислить $4log_{5}3\cdot log_{4}5\cdot log_{3}2\cdot log_{6}4\cdot log_{8}7\cdot log_{7}6$

1.Перейдем к одному основанию, например, 2 по формуле

$log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

$4log_{5}3\cdot log_{4}5\cdot log_{3}2\cdot log_{6}4\cdot log_{8}7\cdot log_{7}6$=

=$4\cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}5}\cdot \frac{log_{2}5}{log_{2}4}\cdot \frac{log_{2}2}{log_{2}3}\cdot \frac{log_{2}4}{log_{2}6}\cdot \frac{log_{2}7}{log_{2}8}\cdot \frac{log_{2}6}{log_{2}7}$=$4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$