Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Десятичные и натуральные логарифмы
Десятичные и натуральные логарифмы
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Десятичные и натуральные логарифмы
Десятичный логарифм числа – это логарифм по основанию 10 и пишут $\lg{b}$ вместо $\log_{10}{b}$.
$\lg{1}=0;\lg{10}=1;\lg{1000}=3$
Натуральный логарифм числа – это логарифм этого числа по основанию e, где e – иррациональное число $(e\approx2.7)$ и пишут $\ln{b}$ вместо $\log_{e}{b}$.
$\ln{e}=1; \ln{1}=0$
Формула перехода к новому основанию
$\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$
$\log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}$
и $\log_{a}{b}\cdot\log_{b}{a}=1.$
Формула перехода к десятичным логарифмам:
$\log_{a}{b}=\frac{\lg{b}}{\lg{a}}$
Формула перехода к натуральным логарифмам:
$\log_{a}{b}=\frac{\ln{b}}{\ln{a}}$
Решим уравнение:
$\frac{\log_{5}{(4x)}}{\log_{5}{3}}-\log_{3}{2}=0$
1. Перейдем к одному основанию 5:
$\log_{3}{2}=\frac{\log_{5}{2}}{\log_{5}{3}}$
$\frac{\log_{5}{(4x)}}{\log_{5}{3}}-\frac{\log_{5}{2}}{\log_{5}{3}}=0$
$\frac{\log_{5}{(4x)}-\log_{5}{2}}{\log_{5}{3}}=0$
2. Применим свойство логарифма частного:
$\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}$
$\frac{\log_{5}{(2x)}}{\log_{5}{3}}=0$
3. Дробь равна нулю при $\log_{5}{(2x)}=0$
4. Из определение логарифма.
$2x=5^{0}$
5. Найдем x:
2x = 1
x = 0,5
Ответ: 0,5
Десятичные и натуральные логарифмы
Задача 1.
Вычислить $100^{0,5+lg\sqrt{5}}$.
1.Используем свойство степеней $a^{n+m}=a^{n}⋅a^{m}$.
2.Заменим 100=$10^{2}$.
$100^{0,5+lg\sqrt{5}}=100^{0,5}\cdot 100^{lg\sqrt{5}}=(10^{2})^{0,5}\cdot10^{2lg\sqrt{5}}=10^{2⋅0,5}\cdot (10^{lg\sqrt{5}})^{2}$=...
3.Применим основное логарифмическое тождество
$a^{log_{a}b}=b$
...=$10^{1}\cdot (\sqrt{5})^{2}=10\cdot 5=50$.
Ответ: 50.
Задача 2.
Вычислить $4log_{5}3\cdot log_{4}5\cdot log_{3}2\cdot log_{6}4\cdot log_{8}7\cdot log_{7}6$
1.Перейдем к одному основанию, например, 2 по формуле
$log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$
$4log_{5}3\cdot log_{4}5\cdot log_{3}2\cdot log_{6}4\cdot log_{8}7\cdot log_{7}6$=
=$4\cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}5}\cdot \frac{log_{2}5}{log_{2}4}\cdot \frac{log_{2}2}{log_{2}3}\cdot \frac{log_{2}4}{log_{2}6}\cdot \frac{log_{2}7}{log_{2}8}\cdot \frac{log_{2}6}{log_{2}7}$=$4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$