ВАЖНО!

Логарифмическая функция

Функцию вида y = log_a х, где a – заданное число, a $\gt$ 0, a $\neq$ 1 называют логарифмической функцией.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел.

2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел R.

3. Неограниченная функция.

4. Возрастающая, если a $\gt$ 1, и убывающая, если 0 $\lt$ a $\lt$ 1.

5. Нули функции: х = 1 (т. к. $\log_{a}{1}=0$) (График функции пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0)).

6. Промежутки знакопостоянства.

Если  a $\gt$ 1, то функция принимает положительные значение при х $\gt$ 1, отрицательные при 0 $\lt$ x $\lt$ 1.

Если 0 $\lt$ a $\lt$ 1, функция принимает положительные значение при 0 $\lt$ х $\lt$ 1, отрицательные при x $\gt$ 1.

Из свойства следуют несколько важных утверждений, которые используют при решении уравнений и неравенств.

1. Если a $\gt$ 1 и $\log_{a}{x_{1}} \lt \log_{a}{x_{2}},$ где x₁ $\gt$ 0, x₂ $\gt$ 0, то x₁ $\lt$ x_2.

2. Если 0 $\lt$ a $\lt$ 1 и $\log_{a}{x_{1}} \lt \log_{a}{x_{2}},$ где x₁ $\gt$ 0, x₂ $\gt$ 0, то x₁ $\gt$ x₂.

3. Если $\log_{a}{x_{1}} = \log_{a}{x_{2}},$ где a $\gt$ 0, a ≠ 1, x₁ $\gt$ 0, x₂ $\gt$ 0, то x₁ = x₂.

Из свойств логарифмической функции следует, что ее график располагается правее оси Оу и обязательно проходит через точку (1; 0).

Особенности графиков логарифмической функции с разными основаниями:

1. Если функция возрастающая (a $\gt$ 1), при увеличении основания график приближается к осям координат.

2. Если функция убывающая (0 $\lt$ a $\lt$ 1), при уменьшении основания график приближается к осям координат.

Рассмотрим применение логарифмической функции в решении уравнений.

Задача 1.

Решить уравнение:

$\log_{3}{(3x-1)} = \log_{3}{4}$

Слева и справа логарифмы по одинаковым основаниям, значит при условии, что 3x-1 $\lt$ 0 и 4 $\gt$ 0 (иначе логарифмы не существуют) приравниваем выражения под логарифмами:

 $3x-1=4; 3x=5; x=\frac{5}{3}$

Ответ: $x=\frac{5}{3}$

Докажем некоторые свойства логарифмической функции.

1. Монотонность функции.

По определению возрастающей функции, если x₁ $\lt$ x₂ , то f(x₁) $\lt$ f(x₂).

Пусть a $\gt$ 1; 0 $\lt$ x₁ $\lt$ x₂.

По основному логарифмическому тождеству $x_{1} = a^{\log_{a}{x_{1}}}, x_{2} = a^{\log_{a}{x_{2}}},$ следовательно $a^{\log_{a}{x_{1}}} \lt a^{\log_{a}{x_{2}}}.$

По свойству степеней с одинаковым основанием, большим 1 имеем: $\log_{a}{x_{1}} \lt \log_{a}{x_{2}}.$

Т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, функция возрастающая. Аналогично доказывается убывание функции при основании 0 $\lt$ a $\lt$ 1.

2. Теорема. Если $\log_{a}{x_{1}} = \log_{a}{x_{2}},$ где a $\gt$ 0, a ≠ 1, x₁ $\gt$ 0, x₂ $\gt$ 0, то x₁ = x₂.

Предположим, что x₁ ≠ x₂, например x₁ $\lt$ x₂. Тогда если основание a $\gt$ 0, в силу возрастания функции $\log_{a}{x_{1}} \lt \log_{a}{x_{2}}.$

Противоречие с условием задачи. Если 0 $\lt$ a $\lt$ 1, тогда функция убывающая и $\log_{a}{x_{1}} \gt \log_{a}{x_{2}}.$

Тоже противоречие с условием задачи, что $\log_{a}{x_{1}} = \log_{a}{x_{2}},$

Следовательно, x₁ = x₂.

Соедини последовательно такие точки, чтобы получился график логарифмическое функции с основанием 0 $\lt$ a $\lt$ 1

Распечатайте и постройте логарифмическую функцию.