Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Логарифмическая функция
Функцию вида y = loga х, где a – заданное число, a $\gt$ 0, a $\neq$ 1 называют логарифмической функцией.
Свойства логарифмической функции:
1. Область определения – множество всех положительных чисел.
2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел R.
3. Неограниченная функция.
4. Возрастающая, если a $\gt$ 1, и убывающая, если 0 $\lt$ a $\lt$ 1.
5. Нули функции: х = 1 (т. к. $\log_{a}{1}=0$) (График функции пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0)).
6. Промежутки знакопостоянства.
Если a $\gt$ 1, то функция принимает положительные значение при х $\gt$ 1, отрицательные при 0 $\lt$ x $\lt$ 1.
Если 0 $\lt$ a $\lt$ 1, функция принимает положительные значение при 0 $\lt$ х $\lt$ 1, отрицательные при x $\gt$ 1.
Из свойства следуют несколько важных утверждений, которые используют при решении уравнений и неравенств.
1. Если a $\gt$ 1 и $\log_{a}{x_{1}} \lt \log_{a}{x_{2}},$ где x1 $\gt$ 0, x2 $\gt$ 0, то x1 $\lt$ x2.
2. Если 0 $\lt$ a $\lt$ 1 и $\log_{a}{x_{1}} \lt \log_{a}{x_{2}},$ где x1 $\gt$ 0, x2 $\gt$ 0, то x1 $\gt$ x2.
3. Если $\log_{a}{x_{1}} = \log_{a}{x_{2}},$ где a $\gt$ 0, a ≠ 1, x1 $\gt$ 0, x2 $\gt$ 0, то x1 = x2.
Из свойств логарифмической функции следует, что ее график располагается правее оси Оу и обязательно проходит через точку (1; 0).
Особенности графиков логарифмической функции с разными основаниями:
1. Если функция возрастающая (a $\gt$ 1), при увеличении основания график приближается к осям координат.
2. Если функция убывающая (0 $\lt$ a $\lt$ 1), при уменьшении основания график приближается к осям координат.
Рассмотрим применение логарифмической функции в решении уравнений.
Задача 1.
Решить уравнение:
$\log_{3}{(3x-1)} = \log_{3}{4}$
Слева и справа логарифмы по одинаковым основаниям, значит при условии, что 3x-1 $\lt$ 0 и 4 $\gt$ 0 (иначе логарифмы не существуют) приравниваем выражения под логарифмами:
$3x-1=4; 3x=5; x=\frac{5}{3}$
Ответ: $x=\frac{5}{3}$
Логарифмическая функция
Докажем некоторые свойства логарифмической функции.
1. Монотонность функции.
По определению возрастающей функции, если x1 $\lt$ x2 , то f(x1) $\lt$ f(x2).
Пусть a $\gt$ 1; 0 $\lt$ x1 $\lt$ x2.
По основному логарифмическому тождеству $x_{1} = a^{\log_{a}{x_{1}}}, x_{2} = a^{\log_{a}{x_{2}}},$ следовательно $a^{\log_{a}{x_{1}}} \lt a^{\log_{a}{x_{2}}}.$
По свойству степеней с одинаковым основанием, большим 1 имеем: $\log_{a}{x_{1}} \lt \log_{a}{x_{2}}.$
Т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, функция возрастающая. Аналогично доказывается убывание функции при основании 0 $\lt$ a $\lt$ 1.
2. Теорема. Если $\log_{a}{x_{1}} = \log_{a}{x_{2}},$ где a $\gt$ 0, a ≠ 1, x1 $\gt$ 0, x2 $\gt$ 0, то x1 = x2.
Предположим, что x1 ≠ x2, например x1 $\lt$ x2. Тогда если основание a $\gt$ 0, в силу возрастания функции $\log_{a}{x_{1}} \lt \log_{a}{x_{2}}.$
Противоречие с условием задачи. Если 0 $\lt$ a $\lt$ 1, тогда функция убывающая и $\log_{a}{x_{1}} \gt \log_{a}{x_{2}}.$
Тоже противоречие с условием задачи, что $\log_{a}{x_{1}} = \log_{a}{x_{2}},$
Следовательно, x1 = x2.
Логарифмическая функция
Соедини последовательно такие точки, чтобы получился график логарифмическое функции с основанием 0 $\lt$ a $\lt$ 1