Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 21. Показательная функция

Показательная функция
Показательная функция
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

На этом уроке мы познакомились с показательной функцией.

Определение:

Функция вида y = ах (a > 0, a ≠ 1) называется показательной функцией с основанием а.

Основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

D(y) = R.

2. Множество значений.

Е(y) = R+, или Е(y) = (0; +∞).

3. Корни (нули) функции.

Корней нет.

4. Монотонность.

При a > 1 функция монотонно возрастает.

При 0 < a < 1 функция монотонно убывает.

5. При любом значении а значение функции y(0) = а0 = 1.

Показательная функция
Показательная функция
Показательная функция

Рассмотрим примеры сложных функций $y=a^{f(x)}$

Пример 1. Найдите множество значений функции y = 4|x|. Данная функция является чётной. Показатель функции - неотрицательный. $|x|\geq0.$

Наименьшее значение при х = 0 y(0) = 1. Ey = (0; +∞).

График функции выглядит так:

Пример 2. Найти множество значений функции $y=3^{-x^{2}+2}.$

Функция чётная.

$-x^2+2≤2$

$0<3^{-x^2+2} ≤3^2, $

Ey = (0; 9].

График функции $y=3^{-x^{2}+2}:$

Найти множество значений функции $y=2^{-x^2+2x+1}.$

$-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2≤2$

$0<2^{-x^2+2x+1}≤2^2$

Множество значений заданной функции: (0; 4].

х = 1 – ось симметрии графика функции $y=-x^2+2x+1,$

х=1 – ось симметрии графика функции

$y=2^{-x^2+2x+1}.$

График функции выглядит так:

Найти множество значений функции

$y= (0,5)^{\sqrt{x+2}-1}$

Dy = [–2; +∞), $\sqrt{(x+2)}-1≥-1,$ $y=\sqrt{x+2}-1,$

монотонно возрастает на [–2; +∞),

монотонно убывает. Наибольшее значение при х=–2, y(–2)=0,5-1=2. Множество значений (0; 2].

$y= (0,5)^{\sqrt{x+2}-1}.$ График функции выглядит так:

Рассмотрим несколько примеров процессов, которые описываются показательной функцией.

Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N = N0 · akt,

N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий.

 Это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

Давление воздуха изменяется по закону: P = P0 · a-kh, P– давление на высоте h, P0 – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

Закон роста древесины: D = D0 · akt, D– изменение количества древесины во времени, D0 – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой:

T = T0 + (100 – T0)e-kt.

Закон поглощения света средой: I = I0 · e-ks, s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

Рассмотрим еще один пример Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t = 0 за единицу.

Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Графически это можно отобразить так:

Если предположить, что поток информации изменялся по тому же закону до того года, который принят за начальный, то будем двигаться по оси абсцисс влево от начала координат и над значениями аргумента -10, -20 и т.д. будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — уменьшая каждый раз вдвое.

 Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y = 2x.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6