Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 28. Логарифмические неравенства

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №28.Логарифмические неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие логарифмического неравенства

2) Основные способы решения логарифмических неравенств

Глоссарий по теме

Логарифмические неравенства – это неравенства вида , где и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Решение логарифмических неравенств:

(знак неравенства сохраняется)

(знак неравенства меняется)

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Дополнительная литература:

Лысенко Ф. Ф. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2008. Под редакцией – Ростов-на-Дону: Легион, 2007. 256 с.

Шестаков С.А., Трепалин А.С., Ященко И.В., Захаров П.И.; под ред. Ященко И. В. ЕГЭ 2016. Математика. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2016. – 295, [1] c.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Логарифмические неравенства – это неравенства вида , где и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Способы решения логарифмических неравенств основаны на монотонности логарифмической функции в зависимости от основания логарифма. Функция возрастает, если и убывает, если .

(знак неравенства сохраняется)

(знак неравенства меняется)

Пример 1.

Решить неравенство.

Решение:

Основание логарифма 3 > 1, значит используем 1 схему.

; ; .

Ответ: (6; 14)

Пример 2.

Решить неравенство .

Решение:

Выполним преобразование правой части: заменим и используем свойство суммы логарифмов.

Основание логарифма , значит используем 2 схему.

;; ; .

Ответ:

Решение логарифмических уравнений и неравенств встречается в заданиях ГИА.

Задача 1. Решите неравенство

.

Решение:

Замена: .

Рассмотрим функцию: .

Нули:

Обратная замена:

Используем определение логарифма, учитывая, что основание 2 >1.

; ; ;

Ответ:

Задача 2. Решите неравенство

.

Решение:

;

Квадраты противоположных чисел равны, поэтому применяя свойство логарифма степени, не забываем поставить модуль.

;

Т. к. основание логарифма содержит переменную, необходимо рассмотреть 2 случая.

1.

; ; ;

; .

2. .

; ; ;

; .

Ответ:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства .

Решение:

  1. Упростим левую часть неравенства, используя основное логарифмическое тождество:

  1. Приведем подобные слагаемые.

  1. Разделим неравенство на 2. (2 > 0, знак неравенства не меняем):

  1. Основание логарифма 0 <0,5< 1, значит логарифмическая функция убывает и знак неравенства меняем:

; ;

Ответ: 3.

№2Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства

.

Решение:

  1. Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

  1. Основание логарифма 0 <0,5< 1, значит логарифмическая функция убывает и знак неравенства меняем:

; ; ; .

Ответ: 1.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6