ВАЖНО!

Логарифмические неравенства – это неравенства вида $\log_{a}{f(x)} \gt \log_{a}{g(x)}$, где $a \gt0, a\neq1$ и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Способы решения логарифмических неравенств:

Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма: функция возрастает, если a $\gt$ 1 и убывает, если 0 $\lt$ a $\lt$ 1. Это важно при решении неравенств.

1. $a \gt 1$

$\log_{a}{f(x)} \gt \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) \gt g(x)\\ f(x) \gt 0 \\g(x) \gt 0\end{cases}$         

(знак неравенства сохраняется)

2. $0 \lt a \lt 1$

$\log_{a}{f(x)} \gt \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) \lt g(x)\\ f(x) \gt 0 \\g(x) \gt 0\end{cases}$

(знак неравенства меняется)

Пример 1.

$\log_{3}{(2x-4)} \gt \log_{3}{(14-x)}$

Решение:

Основание логарифма 3 $\gt$ 1, значит используем 1 схему.

$\begin{cases}2x-4 \gt 14-x\\2x-4 \gt 0\\14-x \gt 0\end{cases};$

$\begin{cases}x \gt 6\\x \gt 2\\x \lt 14\end{cases};$

$6 \lt x \lt 14.$

Ответ: (6; 14)

 Пример 2.

$\log_{\frac{1}{3}}{(x+15)}\geq\log_{\frac{1}{3}}{(x-1)}-2$

Решение:

Выполним преобразование правой части: заменим $-2=\log_{\frac{1}{3}}{9}$ и используем свойство суммы логарифмов.

$\log_{\frac{1}{3}}{(x+15)}\geq\log_{\frac{1}{3}}{(x-1)}+log_{\frac{1}{3}}{9}$

$\log_{\frac{1}{3}}{(x+15)}\geq\log_{\frac{1}{3}}{(9\cdot(x-1))}$

Основание логарифма $0<\frac{1}{3}<1,$ значит используем 2 схему.

$\begin{cases}x+15 \leq 9\cdot(x-1)\\x+15 \gt 0\\x-1 \gt 0\end{cases};$

$\begin{cases}-8x \leq -24\\x \gt -15\\x \gt 1\end{cases};$

$\begin{cases}x \geq 3\\x \gt -15\\x \gt 1\end{cases};$

$x\geq3.$

Ответ: $[3; +∞)$

Решение логарифмических уравнений и неравенств встречается в заданиях ГИА.

Задача 1. Решите неравенство

$(\log_{2}{(x+4,2)+2)}(\log_{2}{(x+4,2)-3)}\geq0.$

Решение:

Замена: $\log_{2}{(x+4,2)}=t.$

$(t+2)(t-3)\geq0.$

Рассмотрим функцию: $f(t)=(t+2)(t-3).$

$D(f):R$

Нули: $t=-2 ; t=3$

$\begin{cases}t \leq -2\\t \geq 3\end{cases}$

Обратная замена:

$\begin{cases}\log_{2}{(x+4,2)} \leq -2\\\log_{2}{(x+4,2)} \geq 3\end{cases}$

Используем определение логарифма, учитывая, что основание 2 > 1.

$\begin{cases}x+4,2 \leq 2^{-2}\\x+4,2\geq 2^{3}\\x+4,2 > 0\end{cases};$

$\begin{cases}x+4,2 \leq 0,25\\x+4,2\geq 8\\x+4,2 > 0\end{cases};$

$\begin{cases}x\leq -3,95\\x\geq 3,8\\x > -4,2\end{cases};$

Ответ: $(-4,2; -3,95]∪[3,8; +∞)$

Задача 2. Решите неравенство

$\log_{x-3}{(x^{2}-12x+36)}\leq0.$

Решение:

$\log_{x-3}{(x-6)^{2}}\leq0;$

Квадраты противоположных чисел равны, поэтому применяя свойство логарифма степени, не забываем поставить модуль.

$2\log_{x-3}{|x-6|}\leq0;$

$\log_{x-3}{|x-6|}\leq0;$

Т. к. основание логарифма содержит переменную, необходимо рассмотреть 2 случая.

1. x - 3 $\gt$ 1.

$\begin{cases}|x-6|\leq (x-3)^{0}\\|x-6|>0\\x-3 > 1\end{cases};$

$\begin{cases}|x-6|\leq 1\\x\neq 6\\x > 4\end{cases};$

$\begin{cases}-1\leq x-6\leq1\\x\neq 6\\x > 4\end{cases};$

$\begin{cases}5\leq x\leq7\\x\neq 6\\x > 4\end{cases};$

$[5;6)∪(6; 7].$

2. 0 $\lt$ x - 3 $\lt$ 1.

$\begin{cases}|x-6|\geq (x-3)^{0}\\|x-6|>0\\0<x-3< 1\end{cases};$

$\begin{cases}|x-6|\geq 1\\x\neq6\\3<x< 4\end{cases};$

$\begin{cases}x-6\leq -1\\x-6\geq1\\x\neq6\\3<x< 4\end{cases};$

$\begin{cases}x\leq 5\\x\geq7\\x\neq6\\3<x< 4\end{cases};$

$(3;4).$

Ответ: $(3;4)∪[5;6)∪(6; 7].$