ВАЖНО!

На уроке мы узнали основное тригонометрическое тождество:$ sin^2α+cos^2α=1$.

Формулу для синуса: $sinα=±\sqrt{1-cos^2α}$.

Формулу для косинуса: $cosα=±\sqrt{1-sin^2α}$.

Формулы для нахождения тангенса: $tgα*ctgα=1$.

$tgα=\frac{1}{ctgα}$

$ctgα=\frac{1}{tgα}$

$α≠\frac{π}{2}+πk$ и $α≠πk$, $k∈R$

$tg^2α=\frac{1}{cos^2α}-1$

Чтобы найти косинус через тангенс

$\frac{1}{cos^2α}=tg^2α-1$

Формула для нахождения котангенса 

$ctg^2α=\frac{1}{sin^2α}-1$

Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Для доказательства используем приемы:

1. Левую часть приводят к правой, или наоборот правую к левой.
2. Устанавливают то, что разность левой и правой частей равна нулю.

Известно, что $sinα+cosα=2$.

Найдите $\sin^4α+\cos^4α$.

1) Так как по условию $sinα+cosα=2$, то возводя в квадрат правую и левую части равенства, получаем:$(sinα+cosα)^2=4$, $\sin^2α+2sinαcosα+\cos^2α=4$.

А так как $\sin^2α+\cos^2α=1$, то подставим это в равенство: $2sinαcosα+1=4$, $2sinαcosα=3$.

2) выделим из выражения $\sin^4α+\cos^4α$ полный квадрат. Для этого прибавим к нему и вычтем $2sin^2α\cos^2α$.

Получаем:

$(\sin^4α+2\sin^2α\cos^2α+\cos^4α)−2\sin^2α\cos^2α=(\sin^2α+\cos^2α)^2−2\sin^2α\cos^2α$.

Но $\sin^2α+\cos^2α=1$, $2sinαcosα=3$, значит, $sinαcosα=\frac{3}{2}$.

Подставляем и получаем: $1−2∗(\frac{3}{2})^2=1−4,5=−3,5$.

Ответ: $\sin^4α+\cos^4α=−3,5$.