Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
На уроке мы узнали основное тригонометрическое тождество:$ sin^2α+cos^2α=1$.
Формулу для синуса: $sinα=±\sqrt{1-cos^2α}$.
Формулу для косинуса: $cosα=±\sqrt{1-sin^2α}$.
Формулы для нахождения тангенса: $tgα*ctgα=1$.
$tgα=\frac{1}{ctgα}$
$ctgα=\frac{1}{tgα}$
$α≠\frac{π}{2}+πk$ и $α≠πk$, $k∈R$
$tg^2α=\frac{1}{cos^2α}-1$
Чтобы найти косинус через тангенс
$\frac{1}{cos^2α}=tg^2α-1$
Формула для нахождения котангенса
$ctg^2α=\frac{1}{sin^2α}-1$
Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.
Для доказательства используем приемы:
- Левую часть приводят к правой, или наоборот правую к левой.
- Устанавливают то, что разность левой и правой частей равна нулю.
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Известно, что $sinα+cosα=2$.
Найдите $\sin^4α+\cos^4α$.
1) Так как по условию $sinα+cosα=2$, то возводя в квадрат правую и левую части равенства, получаем:$(sinα+cosα)^2=4$, $\sin^2α+2sinαcosα+\cos^2α=4$.
А так как $\sin^2α+\cos^2α=1$, то подставим это в равенство: $2sinαcosα+1=4$, $2sinαcosα=3$.
2) выделим из выражения $\sin^4α+\cos^4α$ полный квадрат. Для этого прибавим к нему и вычтем $2sin^2α\cos^2α$.
Получаем:
$(\sin^4α+2\sin^2α\cos^2α+\cos^4α)−2\sin^2α\cos^2α=(\sin^2α+\cos^2α)^2−2\sin^2α\cos^2α$.
Но $\sin^2α+\cos^2α=1$, $2sinαcosα=3$, значит, $sinαcosα=\frac{3}{2}$.
Подставляем и получаем: $1−2∗(\frac{3}{2})^2=1−4,5=−3,5$.
Ответ: $\sin^4α+\cos^4α=−3,5$.