Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 36. Формулы половинного аргумента

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №36. Формулы половинного аргумента.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;

2) Преобразовывать тригонометрические выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;

3) Решение уравнения с использованием формулы синуса, косинуса половинного аргумента.

Глоссарий по теме

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла  при помощи тригонометрических функций угла α. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы узнаем формулы, позволяющие нам по известным значениям ; находить ; ; . Их называют формулы половинного аргумента.

Повторим формулу косинуса двойного аргумента .

А если учесть, что и , то получим ещё две формулы, которые нам сегодня понадобятся:

и

Пример. а) Найти , если .

Вычислим по формуле

б) Найти , если .

Вычислим по формуле .

  • Запишем формулу косинуса двойного аргумента в виде и заменим х на . Тогда получим:, учтём, что

, получаем

(1) формула синуса половинного аргумента.

Запишем формулу косинуса двойного угла, где в виде

(2) формула косинуса половинного угла.

По формулам (1) и (2) можно найти или , если известны значения и положение угла , т.е. в какой координатной четверти он находится, чтобы определить знак выражения или .

Эти формулы ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Но будьте внимательны: степень понижается, а аргумент удваивается.

Например, .

Пример. Известно, что . Найдите ; ;

1) найдём по формуле: ; .

По условию . Разделив обе части неравенства на 2, получаем , значит угол во второй четверти, здесь синус положительный. .

2) ; найдём по формуле ,

Мы уже выяснили, что угол во второй четверти, косинус отрицательный.

3) Так как тангенс это отношение синуса на косинус, то

  • Выведем формулу для тангенса половинного аргумента. Для этого разделим левую часть формулы (1) на левую часть формулы (2) и правую часть формулы (1) на правую часть формулы (2).

сократим на 2 , и учитывая, что , получим:

формула тангенса половинного аргумента (3).

Так как котангенс это число, взаимообратное тангенсу, то

Пример. Найти и , если известно, что и .

По формуле (3) находим , а Найдём положение угла

По условию ,( разделим на 2)

, угол в первой четверти, тангенс положительный, , а .

  • Выведем формулу, по которой можно найти через .

Для этого используем формулу синуса двойного угла , заменив в ней х на . Получаем , учтём, что , то

, разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(4)

  • Выведем формулу для через . Применим формулу косинуса двойного угла, где , , разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(5)

Пример. Найти , если .

По формуле (5) .

  • Если в формуле тангенса двойного угла представить , то получим ещё одну формулу, по которой тангенс угла можно найти через тангенс угла : tg=

С помощью доказанных на этом уроке формул можно не только вычислять значения выражений, но и упрощать выражения, доказывать тождества и решать тригонометрических уравнений.

Пример. Доказать тождество .

Представим , а , преобразуем левую часть тождества

, но , то

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Известно, что и . Найдите ; ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) cos 2)

в) tg 3)

г) ctg 4)3

5)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

№2. Известно, что . Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента.

№3.Вычислите

Ответ:12.

Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .

№4. Известно, что , Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№5.Вычислите .

Ответ: 0,5.

Подсказка: используйте формулу половинного аргумента.

№6. Известно, что. Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)-

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, определения тангенса и котангенса.

№7. Вычислите и установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) ; 1)

б) ; 2)

в) ; 3) 0,25

Ответ:

а

б

в

1

2

3

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где .

№8.Упростите выражения и установите соответствие между множествами выражений А и В:

А В

а); 1)

б); 2)

в) ; 3)

Ответ:

а

б

в

1

2

3

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса.

№9*. Упростите выражение .

Выберите правильный ответ:1)2)3)2.

Ответ:2)

Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .

№10*. Известно, что . Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№11*.Вычислите .

Ответ:1,5.

Подсказка: используйте формулы синуса двойного угла, где ; квадрата суммы и основное тригонометрическое тождество.

№12*.Известно, что , Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№13*.Вычислите. Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса и котангенса.

№14*.Решите уравнения и выберите верный ответ:

1); 2);3)

Ответ: 2)

Подсказка: используйте формулу половинного аргумента, разделив предварительно обе части уравнения на 2.

Проверочная работа:

№1.

а) Известно, что , ,

Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:

А В

а) ; 1)

б) cos; 2)

в) ; 3)

г) ; 4)

5)2

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

б) Известно, что , ,

Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:

А В

а) ; 1)

б) cos; 2)

в) ; 3)

г) ; 4)

5)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

№2.Вычислите: а); б)

Ответ: а) 5; б) 6

Подсказка: используйте формулу тангенса двойного угла, где .

№3.

а)Упростите выражение:

Выберите верный ответ:1)

Ответ: 1)

б) Упростите выражение:

Выберите верный ответ:1)

Ответ: 1)

Подсказка: используйте определение тангенса и котангенса, основное тригонометрическое тождество, формулу синуса и косинуса двойного угла, где .

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6