ВАЖНО!

Формулы половинного аргумента

Мы узнали формулы:

$sin \frac {\alpha}{2}; cos \frac {\alpha}{2};tg \frac {\alpha}{2};ctg \frac {\alpha}{2}; $

Их называют формулами половинного аргумента.

1) формула синуса половинного аргумента

$sin^2 \frac {\alpha}{2} = \frac{1 - cos {\alpha}}{2}$

2)формула косинуса половинного аргумента

$cos^2 \frac {\alpha}{2} = \frac{1 + cos {\alpha}}{2}$

3) формула тангенса половинного аргумента

$tg^2 \frac {\alpha}{2} = \frac{1 - cos \alpha}{1 +cos \alpha}$

Формулы (1)-(3) ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Степень понижается, а аргумент удваивается. 

4) формула, по которой можно найти $ sin \alpha$ через $tg \frac {\alpha}{2}$

$ sin {\alpha} = \frac{2 tg \frac {\alpha}{2}}{1 +tg^2\frac {\alpha}{2}}$

5)формулу для $ cos \alpha$ через $tg \frac {\alpha}{2}$

$ cos {\alpha} = \frac{1 - tg^2 \frac {\alpha}{2}}{1 +tg^2\frac {\alpha}{2}}$

Если угол $\alpha$ принять как $ 2( \frac {\alpha} {2}) $ , то применяются формулы двойного аргумента.

$ sin {\alpha} = 2 sin \frac {\alpha} {2} cos\frac {\alpha} {2} $

$ cos {\alpha} = cos^2\frac {\alpha} {2} - sin^2\frac {\alpha} {2} $

$ tg {\alpha} = \frac{2 tg \frac {\alpha}{2}}{1-tg^2\frac {\alpha}{2}} $

Докажем формулу, связывающую косинус с тангенсом половинного угла при условии, что

$\alpha\ne\pi+2\pi k, k\in Z$

$\displaystyle \frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}$= $\displaystyle \frac{1-\displaystyle \frac{sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}{1+\displaystyle \frac{sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}$=$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{cos^2\frac{\alpha}{2}-sin^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}{\displaystyle\frac{cos^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}+sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}$=$\displaystyle\frac{cos^2\frac{\alpha}{2}-sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}+sin^2\frac{\alpha}{2}}$=$\displaystyle\frac{cos\alpha}{1}$ = $cos\alpha$

Таким образом, мы доказали 

$cos \alpha$=$\displaystyle\frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}$

При доказательстве мы использовали определение тангенса, формулу косинуса двойного угла, основное тригонометрическое тождество.