Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Формулы половинного аргумента
Формулы половинного аргумента
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Формулы половинного аргумента
Мы узнали формулы:
$sin \frac {\alpha}{2}; cos \frac {\alpha}{2};tg \frac {\alpha}{2};ctg \frac {\alpha}{2}; $
Их называют формулами половинного аргумента.
1) формула синуса половинного аргумента
$sin^2 \frac {\alpha}{2} = \frac{1 - cos {\alpha}}{2}$
2)формула косинуса половинного аргумента
$cos^2 \frac {\alpha}{2} = \frac{1 + cos {\alpha}}{2}$
3) формула тангенса половинного аргумента
$tg^2 \frac {\alpha}{2} = \frac{1 - cos \alpha}{1 +cos \alpha}$
Формулы (1)-(3) ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Степень понижается, а аргумент удваивается.
4) формула, по которой можно найти $ sin \alpha$ через $tg \frac {\alpha}{2}$
$ sin {\alpha} = \frac{2 tg \frac {\alpha}{2}}{1 +tg^2\frac {\alpha}{2}}$
5)формулу для $ cos \alpha$ через $tg \frac {\alpha}{2}$
$ cos {\alpha} = \frac{1 - tg^2 \frac {\alpha}{2}}{1 +tg^2\frac {\alpha}{2}}$
Если угол $\alpha$ принять как $ 2( \frac {\alpha} {2}) $ , то применяются формулы двойного аргумента.
$ sin {\alpha} = 2 sin \frac {\alpha} {2} cos\frac {\alpha} {2} $
$ cos {\alpha} = cos^2\frac {\alpha} {2} - sin^2\frac {\alpha} {2} $
$ tg {\alpha} = \frac{2 tg \frac {\alpha}{2}}{1-tg^2\frac {\alpha}{2}} $
Формулы половинного аргумента
Докажем формулу, связывающую косинус с тангенсом половинного угла при условии, что
$\alpha\ne\pi+2\pi k, k\in Z$
$\displaystyle \frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}$= $\displaystyle \frac{1-\displaystyle \frac{sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}{1+\displaystyle \frac{sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}$=$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{cos^2\frac{\alpha}{2}-sin^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}{\displaystyle\frac{cos^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}+sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}$=$\displaystyle\frac{cos^2\frac{\alpha}{2}-sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}+sin^2\frac{\alpha}{2}}$=$\displaystyle\frac{cos\alpha}{1}$ = $cos\alpha$
Таким образом, мы доказали
$cos \alpha$=$\displaystyle\frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}$
При доказательстве мы использовали определение тангенса, формулу косинуса двойного угла, основное тригонометрическое тождество.