Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Произведение синусов и косинусов
Произведение синусов и косинусов
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
На уроке мы рассмотрели формулы, которые позволяют преобразовывать произведения синусов и косинусов в сумму.
Формула произведения синуса на косинус
$sin {α} cos {β} = \frac{1}{2} ( sin {(α + β)} + sin {(α - β)})$
Формула произведения косинусов
$cos {α} cos {β} = \frac {1}{2} (cos {(α + β)} + cos {(α - β)})$
Формула произведения синусов
$sin {α} sin {β} = (cos {(α - β)} - cos {(α + β)})$
Обратите внимание на разность аргументов ${α}$ и ${β}$. Если при вычитании получится отрицательное число, то пользуйтесь правилами знаков:
$sin {( - α )}=-sin {α}$; $cos{( - α )} = cos {α}$
Произведение синусов и косинусов
Вычислите: $tg{20°}tg{40°}tg{60°}tg{80°}$.
Используем:
$tg{α}=\frac{sin {α}}{cos {α}}$,
учитываем, что
$tg{60°}=\sqrt{3}$,
получаем
$tg{20°}tg{40°}tg{60°}tg{80°}=\sqrt{3} \frac{sin {20°}}{cos {20°}}\frac{sin {40°}}{cos {40°}}\frac{sin {80°}}{cos {80°}}$,
применяя формулу приведения, заменим
$cos{80°}=sin{10°}$,
и применяя формулу синуса двойного угла, заменим
$sin{20°}=2sin{10°}cos {10°}$, $sin{40 °}=2sin{20°}cos{20 °}$
получаем:
$$\sqrt {3} (\frac{2sin {10 °} cos {10 °}}{cos {20 °}})(\frac{2 sin {20 °} cos {20 °}} {cos {40 °}})(\frac{2 sin {40 °} cos {40 °}}{sin {10 °}})$$
сокращаем числитель и знаменатель и получаем:
$$8\sqrt{3}cos{10°}sin{20 °}sin{40°}$$
Применяем формулу произведения и получаем:
$$8\sqrt{3}cos{10 °}\frac{1}{2}(cos{20°}-cos {60 °})=4\sqrt {3} cos {10 °}(cos {20 °}-\frac{1}{2})$$
мы учли, что
$cos {60 °}=\frac{1}{2}$
Раскроем скобки:
$$4\sqrt {3} cos {10 °} cos {20 °} - 2 \sqrt {3} cos {10 °}$$
и опять воспользуемся формулой произведения косинусов, получаем:
$4\sqrt {3} \frac{1}{2} (cos {30 °} + cos {10 °}) - 2 \sqrt {3} cos {10 °}=2 \sqrt {3} cos {30 °}+2 \sqrt {3} cos {10 °} - 2 \sqrt {3} cos {10 °}=2 \sqrt {3} cos {30 °}=2 \sqrt {3} \frac{\sqrt {3}} {2}=3$
Ответ: 3