ВАЖНО!

На уроке мы рассмотрели формулы, которые позволяют преобразовывать произведения синусов и косинусов в сумму.

Формула произведения синуса на косинус

$sin {α} cos {β} = \frac{1}{2} ( sin {(α + β)} +  sin {(α - β)})$

Формула произведения косинусов

$cos {α} cos {β} = \frac {1}{2} (cos {(α + β)} + cos {(α - β)})$

Формула произведения синусов

$sin {α} sin {β} = (cos {(α - β)} - cos {(α + β)})$

Обратите внимание на разность аргументов ${α}$ и ${β}$. Если при вычитании получится отрицательное число, то пользуйтесь правилами знаков:

 $sin {( - α )}=-sin {α}$; $cos{( - α )} = cos {α}$

Вычислите: $tg{20°}tg{40°}tg{60°}tg{80°}$.

Используем:

$tg{α}=\frac{sin {α}}{cos {α}}$,

учитываем, что

$tg{60°}=\sqrt{3}$,

получаем

$tg{20°}tg{40°}tg{60°}tg{80°}=\sqrt{3} \frac{sin {20°}}{cos {20°}}\frac{sin {40°}}{cos {40°}}\frac{sin {80°}}{cos {80°}}$,

применяя формулу приведения, заменим

$cos{80°}=sin{10°}$,

и применяя формулу синуса двойного угла, заменим

$sin{20°}=2sin{10°}cos {10°}$, $sin{40 °}=2sin{20°}cos{20 °}$

получаем:

$$\sqrt {3} (\frac{2sin {10 °} cos {10 °}}{cos {20 °}})(\frac{2 sin {20 °} cos {20 °}} {cos {40 °}})(\frac{2 sin {40 °} cos {40 °}}{sin {10 °}})$$

сокращаем числитель и знаменатель и получаем:

$$8\sqrt{3}cos{10°}sin{20 °}sin{40°}$$

Применяем формулу произведения и получаем:

$$8\sqrt{3}cos{10 °}\frac{1}{2}(cos{20°}-cos {60 °})=4\sqrt {3} cos {10 °}(cos {20 °}-\frac{1}{2})$$

мы учли, что

$cos {60 °}=\frac{1}{2}$

Раскроем скобки: 

$$4\sqrt {3} cos {10 °} cos {20 °} - 2 \sqrt {3} cos {10 °}$$

и опять воспользуемся формулой произведения косинусов, получаем:

$4\sqrt {3} \frac{1}{2} (cos {30 °} + cos {10 °}) - 2 \sqrt {3} cos {10 °}=2 \sqrt {3} cos {30 °}+2 \sqrt {3} cos {10 °} - 2 \sqrt {3} cos {10 °}=2 \sqrt {3} cos {30 °}=2 \sqrt {3} \frac{\sqrt {3}} {2}=3$

Ответ: 3