Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Правила дифференцирования
Правила дифференцирования
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Правила дифференцирования:
- Производная суммы равна сумме производных: $ (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x)$. Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции: $(f(x) +…+ g(x))' = f '(x) +…+ g'(x)$. Производная разности равна разности производных: $(f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x)$;
- Постоянный множитель можно вынести за знак производной: $(cf(x))’=cf’(x)$;
- Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго: $(f(x)\cdot g(x))’=f’(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g’(x)$;
- Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя: ${(\frac{f (x)} {g(x )})} ^ {'} = \frac{{f} ^ {'} (x ) g (x ) -f (x ) g'(x)} {g^2(x)}$
Правила дифференцирования
Составьте и решите неравенство:
$f(x)f′(x)\leq 0$, если $f(x)=9x-x^3$
Найдем $f’(x)=9-3x^2$
Составим неравенство: $(9x−x^3)(9−3x^2)\leq 0$
Чтобы решить данное неравенство, надо решить уравнение:
$(9x−x^3)(9−3x^2)=0$
$9−3x^2=0$
$x=\pm \sqrt3$
$9x−x^3=0$
$x(9-x^2)=0$
$x=0; x=-3; x=3$.
Воспользуемся методом интервалов
Получаем ответ:
$х∈(−∞;−3]∪(−\sqrt3;0]∪(\sqrt3;3]$