ВАЖНО!

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы равна сумме производных: $ (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x)$. Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции: $(f(x) +…+ g(x))' = f '(x) +…+ g'(x)$. Производная разности равна разности производных: $(f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x)$;
2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: $(cf(x))’=cf’(x)$;
3. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго: $(f(x)\cdot g(x))’=f’(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g’(x)$;
4. Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя: ${(\frac{f (x)} {g(x )})} ^ {'} = \frac{{f} ^ {'} (x ) g (x ) -f (x ) g'(x)} {g^2(x)}$

Составьте и решите неравенство:

$f(x)f′(x)\leq 0$, если $f(x)=9x-x^3$

Найдем $f’(x)=9-3x^2$

Составим неравенство: $(9x−x^3)(9−3x^2)\leq 0$

Чтобы решить данное неравенство, надо решить уравнение:

$(9x−x^3)(9−3x^2)=0$

$9−3x^2=0$

$x=\pm \sqrt3$

$9x−x^3=0$

$x(9-x^2)=0$

$x=0; x=-3; x=3$.

Воспользуемся методом интервалов

Получаем ответ:

$х∈(−∞;−3]∪(−\sqrt3;0]∪(\sqrt3;3]$