ВАЖНО!

Экстремум функции.

Точки максимума и минимума – это точки экстремума.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы

1) Найти область определения функции $D(f)$

2) Найти $f'(x)$.

3) Найти стационарные $(f'(x) = 0)$ и критические ($f'(x)$ не существует) точки функции $y = f(x)$.

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее экстремума.

Рассмотрим задачу:

Найдите точку максимума функции $у=(7-x)e^{x+7}$

Решение:

Найдем производную $у'=(7-x)'e^{x+7}+(7-x)(e^{x+7})'=-e^{x+7}+(7-x)(e^{x+7})=(6-x)(e^{x+7})$

Найдем нули производной: $(6-x)(e^{x+7})=0$

$x=6$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Следовательно 6 точка максимума

Сохраните картинку и соедините последовательно точки так, чтобы график функции имел именно эти 4 точки экстремума.

Проверьте себя.