Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Правила вычисления первообразной
Правила вычисления первообразной
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Первообразная
Обратную операцию (т. е. операцию нахождения первообразных) называют интегрированием. Основные правила интегрирования можно получить с помощью основных правил дифференцирования.
1) $(F(x)+G(x))'=F'(x)+G'( x)$
2) $(aF(x))'=aF'(x)$
3) $(F(kx+b))'=kF'(kx+b)$
Функция f(x) | Первообразная F(x) |
$(kx+b)^n, n\neq −1,k \neq 0$ | $\frac{(kx+b)^{n+1}}{k (n+1)}+C$ |
$\frac{1}{kx+b},x>0$ | $\frac{1}{k}ln(kx+b)+C$ |
$cos(kx+b),k \neq 0$ | $\frac{1}{k}sinx$ |
$sin(kx+b),k \neq 0$ | ${−1}{k}cosx$ |
$e^{kx+b}, k \neq 0$ | $\frac{1}{k}e^{kx+b}+C$ |
Правила вычисления первообразной
Рассмотрим задачу:
Для функции $y = f(x)$ найдите множество всех первообразных. Выполните проверку.
$f(x) = 2sinx + 3x^{3}$
Решение:
$f(x) = 2sinx+3x^{3}$
$F(x) = -2cosx+\frac{3}{4}x^{4}+С$
Проверка:
Найдем производную функции $F(x)$.
$F’(x) = (-2cosx+\frac{3}{4}x^{4}+С)’ = 2sinx+\frac{3}{4}4x^{3} = 2sinx+3x^{3}$
$F’(x) = f(x)$
Ответ: $F(x)=-2cosx+\frac{3}{4}x^{4}+С$