Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 20. Построение графиков функций

Построение графиков функций
Построение графиков функций

Ознакомьтесь с процессом построения графика функции на данном примере.

Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Схема (полная) построения графика функции:

1. Найти область определения функции $D(f)$.

2. Исследовать функцию на четность (найти $f(-x)$).

3. Найти асимптоты:

Если $lim_{x->\infty}f(x)=b$, то прямая $у = b$ – горизонтальная асимптота.

Если $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$

и при $х=а$; $q(x)=0$, а $р(х)≠0$, то $x=a$ – вертикальная асимптота.

4. Найти стационарные и критические точки.

5. Найти промежутки монотонности.

6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз

7. Найти точки перегиба

8. Составить таблицу значений функции для некоторых точек.

9. По полученным данным построить график функции.

Построение графиков функций

Рассмотрим задачу:

1) Постройте график функции $y=x+\frac{1}{x-1}-3$ , используя подробную схему построения.

Решение.

1) $D(y) = (-\infty; 1)\cup(1; +\infty)$

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к. $f(-x)\ne f(x),f(-x)\ne-f(x)$                         

3) $х = 1$ – вертикальная асимптота

4) $f ’(x) = 1-\frac{1}{(x-1)^2}$ , $f’(x) = 0$ при $х = 2$, $х = 0$, $х = 2$, $х = 0$ – стационарные точки.

5) $f ’(x)\gt 0$ при $x\in(-\infty;0)$, $x\in (2;+\infty)$ Так как в точках $х=0$, $х=2$ функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

$f ’(x)\lt 0$ при $x\in (0;1)$, $x\in (1;2)$ .Так как в точках $х = 0$, $х = 2$ функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

6) Так как в точке $х = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», то $х = 0$ – точка максимума.

Так как в точке $х = 2$ производная меняет знак с «-» на «+», то $х = 2$ – точка минимума.

$х=1$ – не является точкой экстремума

7) Найдем интервалы выпуклости функции.

$f''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}$

$f''\lt 0$; при $x\lt 1$ при $x\in(-\infty;1)$ функция выпукла вверх.

$f''\gt 0$; при $x\gt 1$ ; при $x\in(1;+\infty)$ функция выпукла вниз.

6)Результаты исследования представим в виде таблицы

7) Координаты некоторых точек:

$x$

-1

0,5

1,5

3

$f(x)$

-4,5

-4,5

0,5

0,5

8) По полученным данным строим график.

Построение графиков функций

Oтложите на ось $О_{y}$ точку, в которой функция принимает наименьшее значение на отрезке [-4;1]

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Построение графиков функций

Постройте эскиз графика какой-либо функции, обладающей указанными свойствами.

Функция задана на отрезке [-7; 5].

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Построение графиков функций

Постройте эскиз графика какой-либо функции, обладающей указанными свойствами.

Функция имеет максимум в точке х = 1, максимум в точке х = 7, минимум в точке х = -2, минимум в точке х = 4.

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Построение графиков функций

Постройте эскиз графика функции, используя данные таблицы

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Построение графиков функций

Постройте эскиз графика функции, используя данные таблицы

Используйте алгоритм возрастания и убывания функции.

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Построение графиков функций

Постройте эскиз графика функции $y=x+\frac{9}{x}$ на интервале [-15;15]

Воспользуйтесь алгоритмом построения графика функции.

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6