Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Построение графиков функций
Построение графиков функций
Ознакомьтесь с процессом построения графика функции на данном примере.
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Схема (полная) построения графика функции:
1. Найти область определения функции $D(f)$.
2. Исследовать функцию на четность (найти $f(-x)$).
3. Найти асимптоты:
Если $lim_{x->\infty}f(x)=b$, то прямая $у = b$ – горизонтальная асимптота.
Если $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$
и при $х=а$; $q(x)=0$, а $р(х)≠0$, то $x=a$ – вертикальная асимптота.
4. Найти стационарные и критические точки.
5. Найти промежутки монотонности.
6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз
7. Найти точки перегиба
8. Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
9. По полученным данным построить график функции.
Построение графиков функций
Рассмотрим задачу:
1) Постройте график функции $y=x+\frac{1}{x-1}-3$ , используя подробную схему построения.
Решение.
1) $D(y) = (-\infty; 1)\cup(1; +\infty)$
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к. $f(-x)\ne f(x),f(-x)\ne-f(x)$
3) $х = 1$ – вертикальная асимптота
4) $f ’(x) = 1-\frac{1}{(x-1)^2}$ , $f’(x) = 0$ при $х = 2$, $х = 0$, $х = 2$, $х = 0$ – стационарные точки.
5) $f ’(x)\gt 0$ при $x\in(-\infty;0)$, $x\in (2;+\infty)$ Так как в точках $х=0$, $х=2$ функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
$f ’(x)\lt 0$ при $x\in (0;1)$, $x\in (1;2)$ .Так как в точках $х = 0$, $х = 2$ функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.
6) Так как в точке $х = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», то $х = 0$ – точка максимума.
Так как в точке $х = 2$ производная меняет знак с «-» на «+», то $х = 2$ – точка минимума.
$х=1$ – не является точкой экстремума
7) Найдем интервалы выпуклости функции.
$f''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}$
$f''\lt 0$; при $x\lt 1$ при $x\in(-\infty;1)$ функция выпукла вверх.
$f''\gt 0$; при $x\gt 1$ ; при $x\in(1;+\infty)$ функция выпукла вниз.
6)Результаты исследования представим в виде таблицы
7) Координаты некоторых точек:
$x$ | -1 | 0,5 | 1,5 | 3 |
$f(x)$ | -4,5 | -4,5 | 0,5 | 0,5 |
8) По полученным данным строим график.
Построение графиков функций
Oтложите на ось $О_{y}$ точку, в которой функция принимает наименьшее значение на отрезке [-4;1]
Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания
Построение графиков функций
Постройте эскиз графика какой-либо функции, обладающей указанными свойствами.
Функция задана на отрезке [-7; 5].
Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания
Построение графиков функций
Постройте эскиз графика какой-либо функции, обладающей указанными свойствами.
Функция имеет максимум в точке х = 1, максимум в точке х = 7, минимум в точке х = -2, минимум в точке х = 4.
Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания
Построение графиков функций
Постройте эскиз графика функции, используя данные таблицы
Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания
Построение графиков функций
Постройте эскиз графика функции, используя данные таблицы
Используйте алгоритм возрастания и убывания функции.
Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания
Построение графиков функций
Постройте эскиз графика функции $y=x+\frac{9}{x}$ на интервале [-15;15]
Воспользуйтесь алгоритмом построения графика функции.