ВАЖНО!

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны друг другу.

Существует всего пять правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, куб (гексаэдр), правильный додекаэдр.

На уроке были даны определения центральной, осевой и зеркальной симметрий.

Примером многогранника, обладающего центральной, осевой и зеркальной симметрией, является куб.  

Докажем, что правильных многогранников существует ровно $5$, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные $n$-угольники при $n\geq 6$.

Действительно, угол правильного n-угольника при $n\geq 6$ не меньше $120^0$. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при $n\geq 6$, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше $360^0$. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше $360^0$.

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.