Геометрия. 10 класс

Урок 16. Правильные многогранники

Правильные многогранники
Правильные многогранники
Правильные многогранники
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны друг другу.

Существует всего пять правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, куб (гексаэдр), правильный додекаэдр.

На уроке были даны определения центральной, осевой и зеркальной симметрий.

Примером многогранника, обладающего центральной, осевой и зеркальной симметрией, является куб.  

Правильные многогранники

Докажем, что правильных многогранников существует ровно $5$, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные $n$-угольники при $n\geq 6$.

Действительно, угол правильного n-угольника при $n\geq 6$ не меньше $120^0$. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при $n\geq 6$, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше $360^0$. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше $360^0$.

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6