ВАЖНО!

Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки, называемой центром. Множество точек пространства, ограниченное сферой, называется шаром.

Уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀)

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2 .

Возможны три разных случая взаимного расположения сферы и плоскости:

–     они могут не иметь общих точек (если расстояние от центра до прямой больше радиуса);

–     могут иметь одну общую точку – случай касания (если расстояние от центра до прямой равно радиусу;

–     могут иметь бесконечно много общих точек – случай пересечения (если расстояние от центра до прямой меньше радиуса).

Теорема (свойство касательной плоскости): радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Обратная теорема (признак касательной плоскости): если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Площадь сферы можно найти по формуле:

S = 4πR² – площадь сферы.

Некоторые дополнительные понятия и теоремы

Касательная прямая к сфере (шару) – это прямая, которая имеет со сферой (шаром) только одну общую точку точке.

Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке касания.

Расстояние от центра сферы до касательной прямой равно радиусу сферы.

Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку. Касание может быть внутренним и внешним.

Концентрическими сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют общий центр и радиусы различной длины.

Площади шарового сегмента и сектора

Сегмент шара – это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью.

Основанием сегмента называют круг, который образовался в месте сечения.

Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основания сегмента к поверхности сегмента.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

$S=\pi R(2h+\sqrt{2hR-h^2})$ площадь поверхности сектора с высотой h. 

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке $(x_0,y_0,z_0)$

\begin{cases} x=x_0+R*sin \theta * cos \varphi \\ y=y_0+R*sin \theta*sin \varphi \\ z=z_0+R*cos \theta \end{cases}

$\theta \in$ [0;$\pi$ ] $\varphi \in$ [0;$2\pi$]