Геометрия. 11 класс

Урок 13. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла

Вычисление объемов с помощью определенного интеграла
Вычисление объемов с помощью определенного интеграла
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса.

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра и площади сечения призмы, перпендикулярного боковой стороне $V=aS_{сеч}$.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. $V=S{осн}* \frac{h}{3}$

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.  $V=S{осн}* \frac{h}{3}$

Объем усеченного конуса и пирамиды, высота которых h, а площадь оснований равны S1 и S2 , вычисляется по формуле

$V= \frac{1}{3} h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$

Вычисление объемов с помощью определенного интеграла

Решим задачу:

Найдите объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм АВСD. Сторона АВ = 3см, сторона АD = 8см, ∠А=45°. Высота призмы равна 8 см.

Решение:воспользуемся формулой нахождения объема наклонной призмы V = Sh




Для вычисления площади параллелограмма, лежащего в основании, воспользуемся формулой: S=AB $\cdot$ AD $\cdot$ sin∠A . Подставим в нее значения, данные в условие задачи, получается

$S=3\cdot 5 \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим полученное значение в формулу для вычисления объёма V = S $\cdot$ h, получим 


$V=\frac{15\sqrt{2}}{2}\cdot8=60\sqrt{2} см^3$

Ответ: 60$\sqrt{2}$см3

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6