Определение. Комплексным числом называется выражение вида $a+bi$, где $a$ и $b$ - действительные числа.

Запись комплексного числа в виде $a+bi$ называют алгебраической формой комплексного числа, где $а$ – действительная часть, $bi$ – мнимая часть, причем $b$ –действительное число.

Два комплексных числа  $z=a+bi$ и $\bar{z}=a-bi$, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Суммой комплексных чисел $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ называется комплексное число $z$, действительная часть которого равна сумме действительных частей $z_1$ и $z_2$,а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел $z_1$ и $z_2$, то есть $z=(a_1+ a_2)+(b_1+b_2)i$.   

Числа $z_1$ и $z_2$ называются слагаемыми. 

Определение. Вычесть из комплексного числа $z_1$ комплексное число $z_2$, значит найти такое комплексное число z, что $z+z_2=z_1$.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ называется комплексное число $z$, определяемое равенством: $z=(a_1a_2–b_1b_2)+(a_1a_2+b_1b_2)i$. 

Числа $z_1$ и $z_2$ называются сомножителями.

Определение. Разделить комплексное число $z_1$ на комплексное число $z_2$ , значит найти такое комплексное число $z$, что $z\cdot z_2=z_1$.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если  $z_2≠0+0i$.