Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами

Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами
Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Определение. Комплексным числом называется выражение вида $a+bi$, где $a$ и $b$ - действительные числа.

Запись комплексного числа в виде $a+bi$ называют алгебраической формой комплексного числа, где $а$ – действительная часть, $bi$ – мнимая часть, причем $b$ –действительное число.

Два комплексных числа $z=a+bi$ и $\bar{r}=abi$, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Суммой комплексных чисел $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ называется комплексное число $z$, действительная часть которого равна сумме действительных частей $z_1$ и $z_2$, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел $z_1$ и $z_2$, то есть $z=(a_1+ a_2)+(b_1+b_2)i$.

Числа $z_1$ и $z_2$ называются слагаемыми. 

Определение. Вычесть из комплексного числа $z_1$ комплексное число $z_2$, значит найти такое комплексное число z, что $z+z_2=z_1$.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ называется комплексное число z, определяемое равенством: $z=(a_1a_2–b_1b_2)+(a_1a_2+b_1b_2)i$. 

Числа $z_1$ и $z_2$ называются сомножителями.

Определение. Разделить комплексное число $z_1$ на комплексное число $z_2$ , значит найти такое комплексное число z, что $z\cdot z_2=z_1$.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если $z_2≠0+0i$.

Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами

Найти корни квадратного уравнения $iz^2+(3-2i)z-6=0$

Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на $i$), однако, в этом нет особой надобности.

Для удобства выпишем коэффициенты: $a=i; b=3-2i; c=-6$

Не теряем «минус» у свободного члена! …Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде $az^{2}+bz+c=0$: $iz^{2}+(3-2i)z+(-6)=0$

Вычислим дискриминант:

$D=9-12i+4i^4+24i=(3+2i)^2$

А вот и главное препятствие:

$\sqrt{D}=±(3+2i)$

Находим корни, не забывая, кстати, что $a=i$:

$z_1=\frac{2i-3+(3+2i)}{2i}=2$

$z_2=\frac{2i-3-(3+2i)}{2i}=\frac{3}{i}$

$z_1=2$

$z_2=\frac{3}{i}$

Ответ: $z_1=2$, $z_2=\frac{3}{i}$.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6