ВАЖНО!

Одна из основных задач в курсе алгебры – решение уравнений. Вы ранее решали их на уроках. Однако очень важно привести свои знания в систему, увидеть общие подходы в решении как показательных, так и логарифмических уравнений и неравенств.

 На уроке представлен большой блок задач в тестах тренировочного и контрольного модулей для отработки умений и навыков.

При решении логарифмических уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо по области определения, либо непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение. При решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований. Рассмотрим примеры.

Пример 1

$lg(x+1)+lg(x-1)=lg3$

$lg(x+1)(x-1)=lg 3$

$x^2-1=3$

$x^2=4$

$x=\pm 2$

При $x=\pm 2$ выражение $lg(x-1)$ не имеет смысла, т.е. $х=-2$ посторонний корень.

Ответ: $х=2$

Пример 2. Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} у-lоg_{3х} = 1 \\ х_y=3^{12} \end{cases}\]

Сделаем замену переменных: $u = у$, $v = -1оg_3x$, где $х>0$

Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 3, получим:

$ylоg3х =12$ или $y(-log3x)=-12$

\[\begin{cases} u + v = 1 \\ u v = -12 \end{cases}\]

 Решая систему, получим u =-3 и v = 4 или u =4 и v = -3. 

Сделаем обратную замену переменных:

у=-3, -log₃x=4 и    y=4,  -log₃x=-3

Откуда следует решение системы: ($\frac{1}{81}$; -3), (27;4)