Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 52. Производная и интеграл

Производная и интеграл
Производная и интеграл
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

На этом роке мы привели в систему знания и умения по темам «Производная» и «Интеграл». Мы вспомнили, какие задачи решаются с применением производной:

  • исследование функции на монотонность и экстремумы;
  • задачи на наибольшее и наименьшее значение;
  • доказательство равенств и неравенств.

Мы вспомнили, какие задачи решаются с применением интеграла:

  • вычисление площадей криволинейных трапеций;
  • вычисление пути материальной точки, движущейся по заданному закону;
  • вычисление объемов тел вращения.

Мы вспомнили интерпретации понятия «производная»

  • угловой коэффициент касательной;
  • скорость;
  • ускорение;
  • сила тока;
  • плотность стержня и другие.

Мы вспомнили интерпретации понятия «интеграл»

  • площадь подграфика;
  • путь;
  • работа и другие.
Таблица производных и дифференциалов

Функция

Производная

Дифференциал

${x} ^ {α}$

$α {x} ^ {α-1}$

$α {x} ^ {α-1} dx$

$sin x $

$cosx $

$cos x dx $

$cos x $

$-sin x$

$-sin x dx $

$tg x $

$\frac{1} {{cos} ^ {2} x}$

$\frac{dx}{{cos} ^ {2} x}$

$ctg x$

$- \frac{1} {{sin} ^ {2} x}$

$-\frac {dx} {{sin} ^ {2} x}$

$arcsin x$

$\frac{1}{\sqrt {1- {x} ^ {2}}}$

$\frac{dx} {\sqrt {1- {x} ^ {2}}}$

$arccos x$

$-\frac{1}{\sqrt {1- {x} ^ {2}}}$

$-\frac{dx} {\sqrt {1- {x} ^ {2}}}$

$arctg x$

$\frac{1} {1+ {x} ^ {2}}$

$\frac{dx} {1+ {x} ^ {2}}$

${e} ^ {x}$

${e} ^ {x}$

${e} ^ {x} dx$

${a} ^ {x}$

${a} ^ {x} ln x$

${a} ^ {x} ln x dx$

$ln x$

$\frac{1}{x}$

$\frac{dx} {x}$

$x$

$\frac{1} {x ln x}$

$\frac{dx} {x ln x}$

Таблица первообразных

Функция

Первообразная

${x} ^ {α} ,α≠-1$

$\frac {{x} ^ {α+1}} {α+1}$

$sin x$

$-cos x $

$cos x$

$sin x$

$\frac{1} {{cos} ^ {2} x}$

$tgx$

$\frac{1}{{sin} ^ {2} x}$

$-ctgx$

$\frac{1} {\sqrt {1- {x} ^ {2}}}$

$arcsin x$

$\frac{1} {1+ {x} ^ {2}}$

$arctg x$

${e} ^ {x}$

${e} ^ {x}$

${a} ^ {x}$

$\frac{{a} ^ {x}} {lnx}$

Производная и интеграл

Совокупность первообразных для некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается $\int {f (x ) dx}$.

Таким образом, $\int {f (x ) dx}=F(x)+C$ , где $F(x)$ - одна из первообразных данной функции, а $С$ пробегает множество действительных чисел.

$f(x)$ - подынтегральная функция, $f(x)dx$- подынтегральное выражение, $x$- переменная интегрирования, $С$ - постоянная интегрирования.

Свойства:

  • Имеет место равенство $d(\int {f(x )dx} )= f (x) dx$

Доказательство:

По определению имеем: $\int {f (x ) dx}=F(x)+C$, где $F ' (x ) = f (x )$

Тогда, $d (\int {f (x) dx} )= { (F(x ) + C )} ^ {'} dx = F ' (x ) dx = f (x ) dx$ ч.т.д.

  • Имеет место равенство

$\int {F '(x) dx} = F(x ) + С$

  • Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов слагаемых:

$\int {(f(x ) + g (x) ) dx } = \int {f (x) dx} + \int {g (x ) dx}$

  • Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

$\int {( k f (x ) ) dx} = k \int {f (x) dx}$

Пример:

$\int { (3 {x} ^ {4} - 5 {x} ^ {2} +6 x - 7) dx} =3 \int {{x} ^ {4} dx} -5 \int {{x} ^ {2} dx} +6 \int {x dx} - 7 \int {dx} =\frac{3 {x} ^ {5}}{5} - \frac{5 {x} ^ {3}} {3} +3 {x} ^ {2} - 7 x + C$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6