ВАЖНО!

Сегодня мы познакомились с формулами, которые позволяют сумму или разность синусов и косинусов разложить на множители.

$sin Х + sin Y = 2sin \frac{Х+Y}{2} cos \frac{Х-Y}{2}$ формула суммы синусов (1).

$sin Х - sin Y = 2sin \frac{Х-Y}{2} cos \frac{Х+Y}{2}$ формула суммы синусов (2).

$cos Х + cos Y = 2cos \frac{Х+Y}{2} cos \frac{Х-Y}{2}$ формула суммы косинусов (3).

$cos Х - cos Y = -2sin \frac{Х+Y}{2} sin \frac{Х-Y}{2}$ формула суммы косинусов (4).

Чтобы представить в виде произведения выражение вида

$А sin х + B cos х $, пользуются формулой вспомогательного аргумента

$A sin х + B cos х = С sin (х+\beta) $ (5), где коэффициент С находится через коэффициенты $А$ и $В$ по формуле: $ C= \sqrt {A^2+B^2}$, а $\beta$ называется вспомогательным аргументом такой, что выполняются условия: $cos \beta = \frac {A}{C} $; $sin \beta = \frac {B}{C} $

Представьте в виде произведения выражение

$ sin \alpha + cos \alpha $

В формулах суммы и разности синусов или косинусов складываются одноимённые величины. В нашем случае нужно косинус заменить на синус с помощью формулы приведения: $ cos \alpha = sin (\frac {\pi}{2} - \alpha) $.

$ sin \alpha + cos \alpha= sin \alpha + sin (\frac {\pi}{2} - \alpha) = 2 sin \frac{\alpha+(\frac{\pi}{2} -\alpha)}{2} cos \frac{\alpha- (\frac {\pi}{2} - \alpha)} {2} = 2 sin \frac {\pi}{4} cos (\alpha - \frac {\pi}{4}) = \sqrt {2} cos (\alpha - \frac {\pi}{4}) $