Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений

Преобразование тригонометрических выражений
Преобразование тригонометрических выражений
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Преобразование тригонометрических выражений.

Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:

  1. Угол, равный $\alpha$ радиан, заменяем по формуле : $\alpha$ рад = $(\frac{180}{\pi}\alpha^{\circ})$
  2. Угол, равный $\alpha$ градусов, заменяем по формуле : $\alpha^{\circ} =\frac{\pi}{180^{\circ}} \alpha$


Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, стараемся привести к одному аргументу. Используем для этого формулы двойного угла и другие.

Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.

$sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2}$ , $cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{cos\alpha +1}{2}$, $tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{cos\alpha +1}$, $ctg^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+cos \alpha}{1-cos \alpha}$


Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к

рациональному.

Преобразование тригонометрических выражений

Если слагаемые представляют собой одноимённые тригонометрические выражения, а аргументы - арифметическую прогрессию, то можно пользоваться формулой: $sinx+sin(x+y)+sin(x+2y)=\frac{sin(x+y)sin\frac{3y}{2}}{sin\frac{y}{2}}$

Пример: 

Представьте в виде произведения выражение: $sin9^\circ+sin19^\circ + sin29^\circ$.

Заметим, что аргументы образуют арифметическую прогрессию с разностью $10^\circ$.

Применим доказанную формулу: $sin9^\circ+sin19^\circ+sin29^\circ=\frac{sin(9^\circ+10^0)sin\frac{3 \cdot 10^\circ}{2}}{sin\frac{10^\circ}{2}}=\frac{sin19^\circ sin15^0}{sin5^\circ}$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6