Геометрия. 10 класс
Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикулярность прямой и плоскости
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости» одна из важных в курсе геометрии. Определения, теоремы и леммы в будущем нам помогут решать сложные стереометрические задачи.
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Утверждение: через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Доказательство: пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.
Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, N ∈ a. В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.