ВАЖНО!

Степень с рациональным и действительным показателем

Если n- натуральное число, $n\geq2$, m - целое число и частное $\frac{m}{n}$ является целым числом, то при a $\gt$ 0 справедливо равенство:

$\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$.

Напомним, что r-рациональное число вида $\frac{m}{n}$, где m- целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:

$a^{r}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

 Если $r=\frac{m}{n}>0$, то выражение $\sqrt[n]{a^{m}}$ имеет смысл не только при а $\gt$ 0, но и при а = 0, причем, $\sqrt[n]{0^{m}}=0$

Поэтому считают, что при r>0 выполняется равенство $0^{r}=0$

Пользуясь формулой $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$ Степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Все свойства степени с натуральным показателем верны для любых рациональных чисел p и q и любых а $\gt$ 0 и b $\gt$ 0 следующие равенства:

1. $a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}$;

2. $\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}$;

3. $(a^{p})^{q}=a^{pq}$;

4. $(a\cdot b)^{p}=a^{p}\cdot b^{p}$;

5. $(\frac{a}{b})^{p}=\frac{a^{p}}{b^{p}}, b\neq0$

Решим уравнение

$\frac{(x-2)^{2}}{2}+\frac{18}{(x-2)^{2}}=7(\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2})+10$

Решение:

Сделаем замену $t=\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}$, тогда $t^{2}=\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{9}{(x-2)^{2}}-3$

Получаем:

$2(t^{2} + 3) = 7t + 10$

$2t^{2} - 7t - 4 = 0$

Получаем два корня:

$t_{1} = -0,5$

$t_{2} = 4$

Вернемся к исходной переменной.

1.Если $t_{1} = -0.5$, то

$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=-0,5$

$\begin{cases} x \neq 2\\(x-2)^{2}-6=-(x-2) & \end{cases}$

$x^{2}-3x-4=0$

$\begin{cases} x = -1\\x=4 & \end{cases}$

2.Если $t _{2} = 4$, то

$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=4$

$\begin{cases} x \neq 2\\(x-2)^{2}-6=8(x-2) & \end{cases}$

$x^{2}-12x+14=0$

$\begin{cases}x = 6-\sqrt{22}\\x=6+\sqrt{22}\end{cases}$

Ответ: $x=-1; 4;6-\sqrt{22};6+\sqrt{22}$