Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Степень с рациональным и действительным показателем
Степень с рациональным и действительным показателем
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Степень с рациональным и действительным показателем
Если n- натуральное число, $n\geq2$, m - целое число и частное $\frac{m}{n}$ является целым числом, то при a $\gt$ 0 справедливо равенство:
$\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$.
Напомним, что r-рациональное число вида $\frac{m}{n}$, где m- целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:
$a^{r}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
Если $r=\frac{m}{n}>0$, то выражение $\sqrt[n]{a^{m}}$ имеет смысл не только при а $\gt$ 0, но и при а = 0, причем, $\sqrt[n]{0^{m}}=0$
Поэтому считают, что при r>0 выполняется равенство $0^{r}=0$
Пользуясь формулой $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$ Степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.
Все свойства степени с натуральным показателем верны для любых рациональных чисел p и q и любых а $\gt$ 0 и b $\gt$ 0 следующие равенства:
1. $a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}$;
2. $\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}$;
3. $(a^{p})^{q}=a^{pq}$;
4. $(a\cdot b)^{p}=a^{p}\cdot b^{p}$;
5. $(\frac{a}{b})^{p}=\frac{a^{p}}{b^{p}}, b\neq0$
Степень с рациональным и действительным показателем
Решим уравнение
$\frac{(x-2)^{2}}{2}+\frac{18}{(x-2)^{2}}=7(\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2})+10$
Решение:
Сделаем замену $t=\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}$, тогда $t^{2}=\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{9}{(x-2)^{2}}-3$
Получаем:
$2(t^{2} + 3) = 7t + 10$
$2t^{2} - 7t - 4 = 0$
Получаем два корня:
$t_{1} = -0,5$
$t_{2} = 4$
Вернемся к исходной переменной.
1.Если $t_{1} = -0.5$, то
$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=-0,5$
$\begin{cases} x \neq 2\\(x-2)^{2}-6=-(x-2) & \end{cases}$
$x^{2}-3x-4=0$
$\begin{cases} x = -1\\x=4 & \end{cases}$
2.Если $t _{2} = 4$, то
$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=4$
$\begin{cases} x \neq 2\\(x-2)^{2}-6=8(x-2) & \end{cases}$
$x^{2}-12x+14=0$
$\begin{cases}x = 6-\sqrt{22}\\x=6+\sqrt{22}\end{cases}$
Ответ: $x=-1; 4;6-\sqrt{22};6+\sqrt{22}$