Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Показательные неравенства
Показательные неравенства
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Показательные неравенства
Мы учились решать показательные неравенства.
Простейшими показательными неравенствами называются неравенства вида $a^{f(x)}\geq b, a^{f(x)}\geq a^{g(x)}$
Решение простейшего показательного неравенства зависит от значения основания, так как оно определяет характер монотонности соответствующей показательной функции:
- если a $\gt$ 1, то при переходе от исходного неравенства к неравенству с показателями знак неравенства не изменяется;
- если 0 $\lt$ a $\lt$ 1, то при переходе от исходного неравенства к неравенству с показателями знак неравенства изменяется на противоположный.
При решении более сложных показательных неравенств используются те же методы, которые мы использовали при решении показательных уравнений: вынесение за скобки общего множителя и замена переменной.
Показательная функция
Суть метода рационализации (метода декомпозиции, метода замены множителей, метода замены функций, правила знаков) для решения показательных неравенств состоит в том, что в ходе решения осуществляется переход от неравенства, содержащего показательные выражения, к равносильному рациональному неравенству (или равносильной системе рациональных неравенств).
Метод рационализации часто используют при решении показательно-степенных неравенств (то есть неравенств, в которых переменная содержится и в показателе степени, и в ее основании).
Некоторые рационализирующие выражения
Показательное выражение | Рационализирующее выражение |
$h^f-h^g, h \gt 0, h\neq 1$ | $(h-1)(f-g)$ |
$h^f-1, h \gt 0, h\neq 1$ | $(h-1)f$ |
$f^h-g^h, f \gt 0, g \gt 0, f\neq 1, g\neq 1$ | $(f-g)h$ |