Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Дано: Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C=6\cdot10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=8\cdot10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_{0}=34$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=\alpha \cdot R \cdot C \cdot log_{2}\frac{U_0}{U}$ (с), где $\alpha$=0,8 – постоянная. Определите наиболее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее $76,8$ с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Уравнение вида $\log_{a}{x}=b,$ где, a $\gt$ 0, a $\neq$ 1 называют простейшим логарифмическим уравнением.
Данное уравнение имеет единственное решение, которое мы можем получить графически или по определению логарифма: $x=a^{b}.$
Способы решения логарифмических уравнений:
1. Если $\log_{a}{f(x)}=b,$ то $f(x)=a^{b}$ (где, $a\gt0$, $a\neq$1, $f(x)\gt0$).
Пример 1.
$\log_{2}{(x^{2}+7x)=3}.$
Воспользуемся определением логарифма
$x^{2}+7x=2^{3};$
$x^{2}+7x-8=0;$
$x_{1}=1, x_{2}=-8.$
Оба корня удовлетворяют неравенству $x^{2}+7x \gt 0$
Ответ: – 8; 1.
2. Если $\log_{a}{x_{1}}=\log_{a}{x_{2}},$ то $x_{1}=x_{2}$ (a $\gt$ 0, a $\neq$ 1, x1 $\gt$ 0, x2 $\gt0$)
Если $\log_{a}{f(x)}=\log_{a}{g(x)},$ то $f(x)=g(x)$ ($a\gt0$, $a \neq1$, $f(x)\gt$ 0, $f(g)\gt0$).
Пример 2.
$\log_{a}{x^{2}}=\log_{a}{(2x-1)}$
$\begin{cases}x^{2} = (2x-1)\\x^{2}>0\\2x-1 > 0\end{cases}; $
$\begin{cases}x^{2}-2x+1 = 0\\x \neq0\\x> 0,5\end{cases}; $
$\begin{cases}(x-1)^{2} = 0\\x\neq0\\x > 0,5\end{cases}; $
$\begin{cases}x=1\\x\neq0\\x > 0,5\end{cases}$
Ответ: 1.
Пример 3.
$\lg{(2x^{2}-4x+12)}=\lg{x}+\lg{(x+3)}$
В данном уравнении систему с ограничивающими условиями можно не составлять, сделав в конце проверку о существовании логарифмов для конкретных значений $x$.
Сумму логарифмов в левой части заменим логарифмом произведения:
$\lg{(2x^{2}-4x+12)}=\lg{x(x+3)};$
$2x^{2}-4x+12=x(x+3);$
$2x^{2}-4x+12 = x^{2}+3x;x^{2}-7x+12=0;$
$x_{1}=3; x_{2}=4.$
Подставим каждый корень в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства.
Ответ: 3; 4.
Встречаются уравнения, в которых нельзя сразу использовать 1 или 2 правило. В этом случае сначала используют общие методы решения уравнений.
3. Разложение на множители.
Пример 4.
$\log_{\sqrt{3}}{(x-2)}\log_{5}{x}=2\log_{3}{(x-2)}$
Перенесем все в левую часть:
$\log_{\sqrt{3}}{(x-2)}\log_{5}{x}-2\log_{3}{(x-2)}=0;$
Можно увидеть общий множитель: (x - 2).
Для этого приведем к основанию первый логарифм:
$\log_{\sqrt{3}}{(x-2)}=\frac{\log_{3}{(x-2)}}{\log_{3}{\sqrt{3}}}=\frac{\log_{3}{(x-2)}}{\frac{1}{2}}=2\log_{3}{(x-2)}.$
$2\log_{3}{(x-2)\log_{5}{x}}-2\log_{3}{(x-2)}=0$
Вынесем за скобку общий множитель:
$2\log_{3}{(x-2)(\log_{5}{x}}-1)=0$
Имеем произведение равное нулю. (Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю)
$\begin{cases}\log_{3}{(x-2)} = 0\\\log_{5}{x}-1 = 0\end{cases},$ два простейших логарифмических уравнения.
$\log_{3}{(x-2)} = 0; x-2=3^{0};x-2=1;x=3.$
$\log_{5}{x-1} = 0; \log_{5}{x}=1;x=5^{1}; x=5.$
Выполняем проверку. Оба числа являются корнями уравнения.
Ответ: 3; 5.
4. Введение новой переменной.
Пример 5.
$\log_{\frac{2}{5}}{x}+4\log_{5}{x}-5=0$
Замена: $\log_{5}{x}=t,$ тогда $t^{2}+4t-5=0\Rightarrow $ t1 = 1 и t2 = -5.
Обратная замена:
$\log_{5}{x}=1\Rightarrow x=5$
$\log_{5}{x}=-5\Rightarrow x=5^{-5}; x=\frac{1}{3125}.$
Оба числа являются корнями уравнения.
$Ответ: \frac{1}{3125}; 5.$
5. Графический способ решения.
Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.
Логарифмические уравнения
Задача 1.
При каких значениях a уравнение $(2x-a)\lg{(x+2)}=0$ имеет единственный корень?
Решение:
$(2x-a)\lg{(x+2)}=0$
$\begin{cases}2x-a = 0\\\lg{(x+2)} = 0\end{cases}$
1. Уравнение имеет единственный корень $x = -1$ при $x + 2 \gt 0 (x \gt -2).$ В этом случае $x = -1$ и корень уравнения $2x - a = 0$. Это возможно только при $2\cdot(-1)-a=0$; т. е. при $a = -2.$
2. Если $x\leq-2,$ то уравнение $\lg{(x+2)}=0$ не имеет корней, уравнение $2x - a = 0$ имеет единственный корень $x=\frac{a}{2}$
Следовательно, $\frac{a}{2}\leq-2; a\leq-4.$
Ответ: $(-∞; -4]∪{(-2)}.$
Логарифмическая функция
Решите графически уравнение log2 x = −2 x. Соедините соответствующие точки.