Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 27. Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения

Дано: Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C=6\cdot10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=8\cdot10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_{0}=34$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=\alpha \cdot R \cdot C \cdot log_{2}\frac{U_0}{U}$ (с), где $\alpha$=0,8 – постоянная. Определите наиболее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее $76,8$ с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Уравнение вида $\log_{a}{x}=b,$ где, a $\gt$ 0, a $\neq$ 1 называют простейшим логарифмическим уравнением.

Данное уравнение имеет единственное решение, которое мы можем получить графически или по определению логарифма: $x=a^{b}.$

Способы решения логарифмических уравнений:

1. Если $\log_{a}{f(x)}=b,$ то $f(x)=a^{b}$ (где, $a\gt0$, $a\neq$1, $f(x)\gt0$).

Пример 1.

$\log_{2}{(x^{2}+7x)=3}.$

Воспользуемся определением логарифма

$x^{2}+7x=2^{3};$

$x^{2}+7x-8=0;$

$x_{1}=1, x_{2}=-8.$

Оба корня удовлетворяют неравенству $x^{2}+7x \gt 0$

Ответ: – 8; 1.

2.  Если $\log_{a}{x_{1}}=\log_{a}{x_{2}},$ то $x_{1}=x_{2}$ (a $\gt$ 0, a $\neq$ 1, x1 $\gt$ 0, x2 $\gt0$)

Если $\log_{a}{f(x)}=\log_{a}{g(x)},$ то $f(x)=g(x)$ ($a\gt0$, $a \neq1$, $f(x)\gt$ 0, $f(g)\gt0$).

Пример 2.

$\log_{a}{x^{2}}=\log_{a}{(2x-1)}$

$\begin{cases}x^{2} = (2x-1)\\x^{2}>0\\2x-1 > 0\end{cases}; $

$\begin{cases}x^{2}-2x+1 = 0\\x \neq0\\x> 0,5\end{cases}; $

$\begin{cases}(x-1)^{2} = 0\\x\neq0\\x > 0,5\end{cases}; $

$\begin{cases}x=1\\x\neq0\\x > 0,5\end{cases}$

Ответ: 1.

Пример 3.

$\lg{(2x^{2}-4x+12)}=\lg{x}+\lg{(x+3)}$

В данном уравнении систему с ограничивающими условиями можно не составлять, сделав в конце проверку о существовании логарифмов для конкретных значений $x$.

Сумму логарифмов в левой части заменим логарифмом произведения:

$\lg{(2x^{2}-4x+12)}=\lg{x(x+3)};$

$2x^{2}-4x+12=x(x+3);$

$2x^{2}-4x+12 = x^{2}+3x;x^{2}-7x+12=0;$

$x_{1}=3; x_{2}=4.$

Подставим каждый корень в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства.

Ответ: 3; 4.

Встречаются уравнения, в которых нельзя сразу использовать 1 или 2 правило. В этом случае сначала используют общие методы решения уравнений.

3. Разложение на множители.

Пример 4.

$\log_{\sqrt{3}}{(x-2)}\log_{5}{x}=2\log_{3}{(x-2)}$

Перенесем все в левую часть:

$\log_{\sqrt{3}}{(x-2)}\log_{5}{x}-2\log_{3}{(x-2)}=0;$

Можно увидеть общий множитель: (x - 2).

Для этого приведем к основанию первый логарифм:

$\log_{\sqrt{3}}{(x-2)}=\frac{\log_{3}{(x-2)}}{\log_{3}{\sqrt{3}}}=\frac{\log_{3}{(x-2)}}{\frac{1}{2}}=2\log_{3}{(x-2)}.$

$2\log_{3}{(x-2)\log_{5}{x}}-2\log_{3}{(x-2)}=0$

Вынесем за скобку общий множитель:

$2\log_{3}{(x-2)(\log_{5}{x}}-1)=0$

Имеем произведение равное нулю. (Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю)

$\begin{cases}\log_{3}{(x-2)} = 0\\\log_{5}{x}-1 = 0\end{cases},$ два простейших логарифмических уравнения.

$\log_{3}{(x-2)} = 0; x-2=3^{0};x-2=1;x=3.$

$\log_{5}{x-1} = 0; \log_{5}{x}=1;x=5^{1}; x=5.$

Выполняем проверку. Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: 3; 5.

4.  Введение новой переменной.

Пример 5.

$\log_{\frac{2}{5}}{x}+4\log_{5}{x}-5=0$

Замена: $\log_{5}{x}=t,$ тогда $t^{2}+4t-5=0\Rightarrow $ t1 = 1 и t2 = -5.

Обратная замена:

$\log_{5}{x}=1\Rightarrow x=5$

$\log_{5}{x}=-5\Rightarrow x=5^{-5}; x=\frac{1}{3125}.$

Оба числа являются корнями уравнения.

$Ответ: \frac{1}{3125}; 5.$

5. Графический способ решения.

Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.

Логарифмические уравнения

Задача 1.

При каких значениях a уравнение $(2x-a)\lg{(x+2)}=0$ имеет единственный корень?

Решение:

$(2x-a)\lg{(x+2)}=0$

$\begin{cases}2x-a = 0\\\lg{(x+2)} = 0\end{cases}$

1. Уравнение имеет единственный корень $x = -1$ при $x + 2 \gt 0 (x \gt -2).$ В этом случае $x = -1$ и корень уравнения $2x - a = 0$. Это возможно только при $2\cdot(-1)-a=0$; т. е. при $a = -2.$

2. Если $x\leq-2,$ то уравнение $\lg{(x+2)}=0$ не имеет корней, уравнение $2x - a = 0$ имеет единственный корень $x=\frac{a}{2}$

Следовательно, $\frac{a}{2}\leq-2; a\leq-4.$

Ответ: $(-∞; -4]∪{(-2)}.$

Логарифмическая функция

Решите графически уравнение log2 x = −2 x. Соедините соответствующие точки.

Постройте график

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6