ВАЖНО!

Итак, на этом уроке мы познакомились с понятием арксинуса.

Арксинусом числа $m (|m| \leq1) $ называется такое число $\alpha$, что: $sin\alpha = m $ и $- \frac {\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac {\pi}{2}$.

Арксинус числа $m$ обозначают:$arcsin m $

Получили три простейших тождества для арксинуса.

1) $sin (arcsin m) = m $ для любого $m$:$|m| \leq 1$

2) $arcsin ( sin \alpha) = \alpha$ для любого $\alpha: - \frac {\pi} {2} \leq\alpha \leq \frac {\pi} {2}$

3) $arcsin (-m) = - arcsin $ $ m$

Мы узнали, какую форму имеет решение тригонометрического уравнения $sinx = \alpha$:

Решением уравнения $sin \alpha = m$ являются все числа вида

$ \alpha = \left[ \begin{array}{c} arcsin m + 2\pi k \\ \pi - arcsin m + 2\pi k \end{array} \right. , k \in Z $

Оно имеет решение при $|\alpha| \leq 1$.

Для краткости решение тригонометрического уравнения $sin x = m$ можно записать в виде: $ x = (-1)^n arcsin m + \pi k, k \in Z$.

Решение более сложных уравнений с синусом

$\sin\left(2\mathrm x-\frac{3\mathrm\pi}4\right)=\frac{\sqrt3}2$

Решение:

$arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}$,

поэтому $2x-\frac{3\pi}{4}=\left[\begin{array}{c}\frac{\pi}{3}+2\pi k\\ \frac{2\pi}{3}+2\pi k\end{array}\right., k\in Z$

$2x=\left[\begin{array}{c}\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+2\pi k\\\frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}+2\pi k\end{array}\right., k\in Z$

или $2x=\left[\begin{array}{c}\frac{13\pi}{12}+2\pi k\\\frac{17\pi}{12}+2\pi k\end{array}\right., k\in Z$

$x=\left[\begin{array}{c}\frac{13\pi}{24}+\pi k\\\frac{17\pi}{24}+\pi k\end{array}\right., k\in Z$

Ответ: $x=\left[\begin{array}{c}\frac{13\pi}{24}+\pi k\\\frac{17\pi}{24}+\pi k\end{array}\right., k\in Z$

$sin(x^{2}-4x+\frac{\pi}{3})=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

$arcsin(\frac{-\sqrt{3}}{2})=(\frac{-\pi}{3})$,

поэтому $x^{2}-4x+\frac{\pi}{3}=\left[\begin{array}{c}\frac{-\pi}{3}+2\pi k\\\frac{-2\pi}{3}+2\pi k\end{array}\right., k\in Z$.

$\left[\begin{array}{c}x^{2}-4x-\frac{2\pi}{3}=0\\x^{2}-4x-\pi-2\pi k=0\end{array}\right., k\in Z$

$\left[\begin{array}{c}x=2\pm\sqrt{4+\frac{2\pi}{3}+2\pi k}\\x=2\pm\sqrt{4+\pi+2\pi k}\end{array}\right., k\in Z$

$4+\frac{2\pi}{3}+2\pi k\geq 0$(1)

и $4+\pi +2\pi k\geq 0$(2)

(1)$k\geq-\frac{1}{3}-\frac{2}{\pi}$,

так как $k$ - целое, то $k\geq 0$

(2)$k\geq-\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi}$,

так как $k$ - целое, то $k\geq -1$

$\left[\begin{array}{c}x=2\pm\sqrt{4+\frac{2\pi}{3}+2\pi k}\\x=2\pm\sqrt{4+\pi+2\pi k}\end{array}\right., k\in Z$

$x=2\pm\sqrt{4-\pi}$

Ответ:

а) $\left[\begin{array}{c}x=2\pm\sqrt{4+\frac{2\pi}{3}+2\pi k}\\x=2\pm\sqrt{4+\pi+2\pi k}\end{array}\right., k\in Z$ при $k\geq 0$,

б) $x=2\pm\sqrt{4-\pi}$ при $k=-1$

в) нет решений при $k\lt -1$

$sinx^{2}=sin(2x-3)$

Решение:

$x^{2}=\left[\begin{array}{c}2x-3+2\pi k\\\pi-2x+3+2\pi k\end{array}\right., k\in Z$

$\left[\begin{array}{c}x^{2}-2x-3+2\pi k\\x^{2}+2x-3-\pi - 2\pi k\end{array}\right., k\in Z$

$\left[\begin{array}{c}x=1\pm\sqrt{-2+2\pi k}\\x=-1\pm\sqrt{4+\pi +2\pi k}\end{array}\right., k\in Z$

Первое уравнение имеет решение при

$k\geq \frac{1}{\pi}$ или при $k\geq 1$.

Второе уравнение имеет решение при

$k\geq -\frac{2}{\pi}-\frac{1}{2}$ или при $k\geq -1$.

Ответ:

а) $\left[\begin{array}{c}x=1\pm\sqrt{-2+2\pi k}\\x=-1\pm\sqrt{4+\pi +2\pi k}\end{array}\right., k\in Z$ при $k\geq 1$,

б) $x=x=-1\pm\sqrt{4+\pi +2\pi k}, k\in Z$ при $k=-1$, при $k=0$,

в) нет решений при $k\lt -1$.

$(1-2sin x)(4sinx+1)=0$

Решение:

$\left[\begin{array}{c}1-2sinx = 0\\4+sinx = 0\end{array}\right.$ или: $\left[\begin{array}{c}sinx = 0,5\\sinx = -0,25\end{array}\right.$

(1) $\left[\begin{array}{c}\frac{\pi}{6}+2\pi k\\\frac{5\pi}{6}+2\pi k\end{array}\right., k\in Z$

(2) $\left[\begin{array}{c}-arcsin(0,25)+2\pi n\\\pi+arcsin(0,25)+2\pi n\end{array}\right., n\in Z$.

Ответ: $\left[\begin{array}{c}\frac{\pi}{6}+2\pi k\\\frac{5\pi}{6}+2\pi k\\-arcsin(0,25)+2\pi n \\\pi+arcsin(0,25)+2\pi n \end{array}\right., n,k\in Z$.

$9sin^{2}x-2=0$

Решение:

$sinx=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

$x=\left[\begin{array}{c}\pm(\pi-arcsin(\frac{\sqrt{2}}{3}))+2\pi n, n\in Z\\\pm arcsin(\frac{\sqrt{2}}{3})+2\pi n, n\in Z\end{array}\right., n\in Z$.

$x=\pm(\pi-arcsin(\frac{\sqrt{2}}{3}))+2\pi n, n\in Z$.

Ответ: $x=\pm(\pi-arcsin(\frac{\sqrt{2}}{3}))+2\pi n, n\in Z$.