Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Уравнение tg x = a
Уравнение tg x = a
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Уравнение $tg x = a$.
Итак, на этом урок мы узнали, что:
Арктангенсом числа $m$ называется такое число $a$ , что: $tg a = m$ и$ \frac {-\pi}{2}< \alpha<\frac {\pi}{2}$ . Арктангенс числа m обозначают:$arctgm$.
Два простейших тождества для арктангенса.
1) $tg (arctgm) = m$ для любого $m$
2) $arctg(tg\alpha) = \alpha$ для любого $ \frac {-\pi}{2}< \alpha<\frac {\pi}{2}$
Арккотангенсом числа $m$ называется такое число $a$ что: $ctg a = m$ и $0< \alpha<\pi$
Арккотангенс числа m обозначают:$arcctgm$.
Два простейших тождества для арктангенса.
1) $ctg (arcctgn) = n$ для любого $n$
2) $arcctg(ctg\alpha) = \alpha$ для любого $ 0< \alpha<\pi$,
Решением тригонометрического уравнения вида $ tg\alpha$ являются все числа вида $ x = arctg\alpha + \pi m, m \in Z$.
Оно имеет решение при любых значениях $\alpha$.
Уравнение tg x = a
Рассмотрим последовательно решение тригонометрического уравнения вида
$tg f (x) = tgg (x)$
Решим уравнение:
$tg x^2 = tg (7 - 6x)$
Так как тангенсы равны, то их аргументы связаны соотношением:
$x^2 = 7 - 6 x+\pi k , k \in Z$
Отсюда:
$x^2+6x - 7 -\pi k= 0 , k \in Z$
$x= - 3 \pm \sqrt{16 +\pi k} , k \in Z$
Так как дискриминанты должны быть неотрицательны, то получаем
$ k\geq - \frac{16}{\pi} $ или при k $ \geq 0$
Ответ:$x= - 3 \pm \sqrt{16 +\pi k} , k \in Z, k \geq 0$