Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 43. Уравнение tg x=a

Уравнение tg x = a
Уравнение tg x = a
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Уравнение $tg x = a$.

Итак, на этом урок мы узнали, что:

Арктангенсом числа $m$ называется такое число $a$ , что: $tg a = m$ и$ \frac {-\pi}{2}< \alpha<\frac {\pi}{2}$ . Арктангенс числа m обозначают:$arctgm$.

Два простейших тождества для арктангенса.

1) $tg (arctgm) = m$ для любого $m$

2) $arctg(tg\alpha) = \alpha$ для любого $ \frac {-\pi}{2}< \alpha<\frac {\pi}{2}$

Арккотангенсом числа $m$ называется такое число $a$ что: $ctg a = m$ и $0< \alpha<\pi$

Арккотангенс числа m обозначают:$arcctgm$.

Два простейших тождества для арктангенса.

1) $ctg (arcctgn) = n$ для любого $n$

2) $arcctg(ctg\alpha) = \alpha$ для любого $ 0< \alpha<\pi$,

Решением тригонометрического уравнения вида $ tg\alpha$ являются все числа вида $ x = arctg\alpha + \pi m, m \in Z$.

Оно имеет решение при любых значениях $\alpha$.



  

Уравнение tg x = a

Рассмотрим последовательно решение тригонометрического уравнения вида

$tg f (x) = tgg (x)$

Решим уравнение:

$tg x^2 = tg (7 - 6x)$

Так как тангенсы равны, то их аргументы связаны соотношением:

$x^2 = 7 - 6 x+\pi k , k \in Z$

Отсюда:

$x^2+6x - 7 -\pi k= 0 , k \in Z$

$x= - 3 \pm \sqrt{16 +\pi k} , k \in Z$

Так как дискриминанты должны быть неотрицательны, то получаем

$ k\geq - \frac{16}{\pi} $ или при k $ \geq 0$

Ответ:$x= - 3 \pm \sqrt{16 +\pi k} , k \in Z, k \geq 0$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6