Геометрия. 11 класс
Комбинации многогранников и круглых тел
Комбинации многогранников и круглых тел
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Объём конуса равен V =$\frac{1}{3}$ Sосн * h
Объём пирамиды равен V = $\frac{1}{3}$ Sосн * h
Объём цилиндра равен V = Sосн * h
Объём призмы равен V = Sосн * h
Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S*S_1})$
Где высота равна h, а площадь оснований равны
S и S1
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S*S_1})$
Где высота равна h, а площадь оснований равны
S и S1
Объем шара находится по формуле:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3$
Где R-радиус шара
Объем шарового сегмента находится по формуле:
$V_{ш.сег}=\pi h^2(R-\frac{1}{3}h)$
Где h-высота сегмента, R-радиус шара
Объем шарового сектора находится по формуле:
$V_{ш.сек}=\frac{2}{3}\pi R^2h$
Где h-высота сектора, R-радиус шара
Площадь сферы определяется по формуле:
$S=4\pi R^2$
Где R-радиус сферы
Комбинации многогранников и круглых тел
Решим задачу:
Высота конуса равна 8 мм, образующая – 10 мм. Найдите радиус вписанного шара и длину линии касания.
Решение
Дано: в конус вписан шар; h = OC = 8 мм; AC = 10 мм
Найти: радиус вписанного шара r,
длину линии касания
Решение:
Проведем осевое сечение конуса, в сечении будет равнобедренный ΔBCA
ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора
OA² = AC² - h² = 100 - 64 = 36 = 6²
OA = 6 мм
ΔBCA равнобедренный ⇒ BA = 2·OA= 2·6 = 12 мм
Найдем площадь треугольника ВСА.
S = $\frac{1}{2}$ ∙ OC ∙ AB
S = $\frac{1}{2}$ ∙ 8 ∙ 12 = 48
Площадь треугольника находится через радиус вписанной окружности.
16 r = 48 ⇒ r = 3 мм
Длина линии касания - это длина окружности с центром в точке P и радиусом KP
ΔDKC - прямоугольный, т.к. DK - радиус в точку касания K
ΔBOC подобен ΔCKD по двум углам, прямому и общему ∠KCD
$\frac{OB}{KD}=\frac{OC}{KC}$
$KC=\frac{KD*OC}{OB}=\frac{3*8}{6}=4$
ΔBOC подобен ΔKPC по двум углам, прямому и общему ∠KCD
$\frac{BC}{KC}=\frac{BO}{KP}$
$KP = \frac{KC*BO}{BC}=\frac{4*6}{10}=2,4$
Длина окружности с центром в точке Р
L = 2π · KР = 2·π · 2,4 = 4,8π
Ответ: радиус вписанного шара 3 мм; длина линии касания 4,8π мм.