ВАЖНО!

Объём конуса равен V =$\frac{1}{3}$ S_осн * h

Объём пирамиды равен V = $\frac{1}{3}$ S_осн * h

Объём цилиндра равен V = S_осн * h

Объём призмы равен V = S_осн * h

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:  

$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S*S_1})$

 Где высота равна h, а площадь оснований равны 

S и S₁

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S*S_1})$

 Где высота равна h, а площадь оснований равны 

S и S1

Объем шара находится по формуле:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Где R-радиус шара

Объем шарового сегмента находится по формуле:

$V_{ш.сег}=\pi h^2(R-\frac{1}{3}h)$

Где h-высота сегмента, R-радиус шара

Объем шарового сектора находится по формуле:

$V_{ш.сек}=\frac{2}{3}\pi R^2h$

Где h-высота сектора, R-радиус шара

Площадь сферы определяется по формуле:

$S=4\pi R^2$

Где R-радиус сферы

Решим задачу:

Высота конуса равна 8 мм, образующая – 10 мм. Найдите радиус вписанного шара и длину линии касания.

Решение

 Дано: в конус вписан шар; h = OC = 8 мм; AC = 10 мм

Найти: радиус вписанного шара r, 

 длину линии касания

Решение:

Проведем осевое сечение конуса, в сечении будет равнобедренный ΔBCA

ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора

OA² = AC² - h² = 100 - 64 = 36 = 6²

OA = 6 мм 

ΔBCA равнобедренный  ⇒   BA = 2·OA= 2·6 = 12 мм

Найдем площадь треугольника ВСА.

S = $\frac{1}{2}$ ∙ OC ∙ AB

S = $\frac{1}{2}$ ∙ 8 ∙ 12 = 48

Площадь треугольника находится через радиус вписанной окружности.

16 r = 48   ⇒  r = 3 мм

Длина линии касания - это длина окружности с центром в точке P и радиусом KP

ΔDKC - прямоугольный, т.к. DK - радиус в точку касания K

ΔBOC подобен ΔCKD по двум углам, прямому и общему ∠KCD

$\frac{OB}{KD}=\frac{OC}{KC}$

$KC=\frac{KD*OC}{OB}=\frac{3*8}{6}=4$

ΔBOC подобен ΔKPC по двум углам, прямому и общему ∠KCD

$\frac{BC}{KC}=\frac{BO}{KP}$

$KP = \frac{KC*BO}{BC}=\frac{4*6}{10}=2,4$

Длина окружности с центром в точке Р

L = 2π · KР = 2·π · 2,4 = 4,8π

Ответ: радиус вписанного шара 3 мм; длина линии касания 4,8π мм.