Геометрия. 11 класс

Урок 18. Сечения многогранников

Сечения многогранников
Сечения многогранников
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Сечения многогранников

Теорема о параллельности трех прямых: если a∥b,b∥c, то и a∥c.

Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.

Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

  • Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.
  • Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны
  • Если плоскости α и β пересекаются по прямой a, а плоскости β и γ пересекаются по прямой b, причем a∥b, то плоскости α и γ пересекутся по прямой c∥a∥b.
Сечения многогранников

Решение задач

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 8 Высота призмы равна 3 Точка N – середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение.

а) Проведем для начала сечение призмы. Соединим точки А и N. Затем пересечем АN и СС1 и через полученную точку и точку В проведем прямую, которая пересечет ребро С1В1 в точке М. Далее соединяем точки М, В, А, N. Получилось искомое сечение ABMN.

Основание пирамиды – это параллельные плоскости, следовательно, искомое сечение ABMN, проходящее через середину В1С1 и А1С1, является равнобедренной трапецией.

б) Площадь сечения, т.е. площадь равнобедренной трапеции, будем искать по формуле

$S=\frac{1}{2}(NM+AB) \cdot NH$

Сначала вычислим длину отрезка NM. Она является средней линией треугольника А1В1С1 и равна половине отрезка А1В1, т.е. $NM=\frac{1}{2}A_1B_1=4$

Теперь найдем высоту трапеции NH. Рассмотрим прямоугольный треугольник АА1N с катетами 3 и 4, следовательно, гипотенуза $AN=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Длина отрезка $AH=\frac{(AB-NM)}{2}=2$ И высота NH( по теореме Пифагора) равна $NH=\sqrt{AN^2-AH^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$

Таким образом, площадь сечения равна $S=\frac{1}{2}(4+8) \cdot \sqrt{21}=6\sqrt{21}$

Ответ: $6\sqrt{21}$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6