Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Предел последовательности
Предел последовательности
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Определение. Число b называют пределом последовательности $(y_n)$, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут: \[y_n \to b\] или \[\lim_{n \to \infty} {y_n} = b\]
Окрестностью точки b радиуса $r_1$ является интервал $(b-r_1; b+r_1)$, $(r_1>0)$.
Возьмем интервал $(b-r_1; b+r_1)$, т.е., окрестность точки b; $r_1$ – радиус этой окрестности $(r_1>0)$. Существует номер $n_1$, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: \[y_{n1} \mspace{5mu} \epsilon \mspace{5mu} \left(b - r_1;b+r_1\right), \mspace{5mu} y_{n_1+1} \mspace{5mu} \epsilon \mspace{5mu} \left(b - r_1;b+r_1\right), \mspace{5mu} y_{n_1+2} \mspace{5mu} \epsilon \mspace{5mu} \left(b - r_1;b+r_1\right)\]и т.д.
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Предел последовательности
Рассмотрим следующий предел: \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}\]
Согласно нашему правилу нахождения пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль, в знаменателе тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида 0/0, которую, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1\]
Этот математический факт носит название Первого замечательного предела.
Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде \[\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin{x}} = 1,\] то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
Второй замечательный предел.
В теории математического анализа доказано, что:
\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e\]
Этот факт носит название второго замечательного предела.