ВАЖНО!

Определение. Число b называют пределом последовательности $(y_n)$, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут: \[y_n \to b\] или \[\lim_{n \to \infty} {y_n} = b\]

Окрестностью точки b радиуса $r_1$ является интервал $(b-r_1; b+r_1)$, $(r_1>0)$.

Возьмем интервал $(b-r_1; b+r_1)$, т.е., окрестность точки b; $r_1$ – радиус этой окрестности $(r_1>0)$. Существует номер $n_1$, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: \[y_{n1} \mspace{5mu} \epsilon \mspace{5mu} \left(b - r_1;b+r_1\right), \mspace{5mu} y_{n_1+1} \mspace{5mu} \epsilon \mspace{5mu} \left(b - r_1;b+r_1\right), \mspace{5mu} y_{n_1+2} \mspace{5mu} \epsilon \mspace{5mu} \left(b - r_1;b+r_1\right)\]и т.д.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. 

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. 

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Рассмотрим следующий предел: \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}\]

Согласно нашему правилу нахождения пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль, в знаменателе тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида 0/0, которую, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1\]

Этот математический факт носит название Первого замечательного предела. 

Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде \[\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin{x}} = 1,\] то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

Второй замечательный предел.

В теории математического анализа доказано, что:

\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e\]

Этот факт носит название второго замечательного предела.