ВАЖНО!

Формула для вычисления производной степенной функции $x^{n}$, где $n$ – произвольное натуральное число, такова:

$(x^{n})’=nx^{n-1}$.

Нам уже известна формула производной функции $х^{2}$:

$(x^{2})’=2x$.

Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:

$(x^{3})’=(x^{2}\cdot x)’=(x^{2})’\cdot x+x^{2}\cdot (x)’=2x\cdot x+x^{2}\cdot 1=3x^{2}$;

$(x^{4})’=(x^{3}\cdot x)’=(x^{3})’\cdot x+x^{3}\cdot (x)’=3x^{2}\cdot x+x^{3}\cdot 1=4x^{3}$.

Заметим, что

$(x^{3})’=2x^{2-1}$

$(x^{3})’=3x^{3-1}$

$(x^{4})’=4x^{4-1}$

Т.е. для n формула доказана.

В более сложных случаях, например, при нахождении производной функции $(3х-1)^{7}$, можно воспользоваться следующей формулой:

$((kx+b)^{p})’=pk(kx+b)^{p-1}$

Найдите наибольшее значение функции $y=(x+4)^{2}(x+1)+19$ на отрезке $[-5; -3]$.

Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения:

$y'=3(x+4)(x+2)$

Отыщем нули производной: $y'(x)=0$

$(x+4)(x+2)=0$

$x_{1}=-4, x_{2}=-2.$

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

На отрезке $[-5; -4]$ исходная функция возрастает, а на отрезке $[-4; -3]$ убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке $[-5; -3]$ достигается при $x=-4$ и равно $y(-4)= (-4+4)​^{2}​​(−4+1)+19= 19$.

Ответ:$19$