ВАЖНО!

Определение производной. Физический смысл производной

Пусть функция $y=f(x)$ определена в точках $x_0$ и $x_1$. Разность $x_1−x_0$ называют приращением аргумента (при переходе от точки $x_0$ к точке $x_1$), а разность $f(x_1)−f(x_0)$ называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают $\triangle x$ (читают: дельта икс; $\triangle$ — прописная буква греческого алфавита "дельта").

Итак, $x_1−x_0=\triangle x$, значит, $x_1=x_0+\triangle x$.

$f(x_1)−f(x_0)=\triangle y$, значит, $\triangle y=f(x_0+\triangle x)−f(x_0)$.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

$y’=\lim_{{\triangle x}\to 0} {\frac {\triangle y }{\triangle x} } =\lim_{{\triangle x}\to 0} \frac {y({x}_{0} + {\triangle} x) -y( {x}_{0} )} {\triangle x}$

Обозначение: $y’$ или $f’(x)$

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути $S(t)$, где $t$ – время движения, то производная функции $S$ есть мгновенная скорость движения в момент времени $t$: $v(t)=S’(t)$.

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Рассмотрим задачу:

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= \frac{1} {3} {t} ^ {3} -3 {t} ^ {2} -5t+3$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение:

Найдем закон изменения скорости: $v(t)=x’(t)=t^2-6t-5$ м/с. Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 2 м/с, решим уравнение:

$$t^2-6t-5 =2$$

$$t^2-6t-7=0$$

$t_1=-1$- не подходит, т.к. $t>0$

$t_2=7$

Ответ: 7 секунд