Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 10. Определение производной. Физический смысл производной

Определение производной. Физический смысл производной
Определение производной. Физический смысл производной
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Определение производной. Физический смысл производной

Пусть функция $y=f(x)$ определена в точках $x_0$ и $x_1$. Разность $x_1−x_0$ называют приращением аргумента (при переходе от точки $x_0$ к точке $x_1$), а разность $f(x_1)−f(x_0)$ называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают $\triangle x$ (читают: дельта икс; $\triangle$ — прописная буква греческого алфавита "дельта").

Итак, $x_1−x_0=\triangle x$, значит, $x_1=x_0+\triangle x$.

$f(x_1)−f(x_0)=\triangle y$, значит, $\triangle y=f(x_0+\triangle x)−f(x_0)$.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

$y’=\lim_{{\triangle x}\to 0} {\frac {\triangle y }{\triangle x} } =\lim_{{\triangle x}\to 0} \frac {y({x}_{0} + {\triangle} x) -y( {x}_{0} )} {\triangle x}$

Обозначение: $y’$ или $f’(x)$

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути $S(t)$, где $t$ – время движения, то производная функции $S$ есть мгновенная скорость движения в момент времени $t$: $v(t)=S’(t)$.

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Определение производной. Физический смысл производной

Рассмотрим задачу:

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= \frac{1} {3} {t} ^ {3} -3 {t} ^ {2} -5t+3$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?


Решение:

Найдем закон изменения скорости: $v(t)=x’(t)=t^2-6t-5$ м/с. Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 2 м/с, решим уравнение:

$$t^2-6t-5 =2$$

$$t^2-6t-7=0$$

$t_1=-1$- не подходит, т.к. $t>0$

$t_2=7$

Ответ: 7 секунд

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6