Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Первообразная
Первообразная
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Понятие первообразной
Сформулируем определение первообразной.
С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени.
Если некоторая точка прошла путь $S(t)$, то ее мгновенная скорость $v(t)=S'(t)$ .
Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции S(t), которую называют первообразной функции v(t), т.е. такой функцией, что $S'(t)=v(t)$.
Итак, функцию $y = F(x)$ называют первообразной для функции $y = f(x)$ на промежутке $Х$, если для $ х \epsilon Х $ выполняется равенство $F’ (x) = f(x)$.
Выходит, что операция нахождения первообразной – обратна нахождению производной функции.
Таблица первообразных:
функция f(x) | Первообразная F(x) |
\[0\] | \[C = const\] |
\[1\] | \[x + C\] |
\[ x^n , n \neq -1\] | \[\frac {x^n+1}{n+1} + c\] |
\[\frac{1}{x} , x > 0\] | \[lnx+c\] |
\[cos x\] | \[sin x + C\] |
\[sin x\] | \[-cos x + C\] |
\[e^x\] | \[e^x+c\] |
Первообразная
Рассмотрим задачу:
Докажите, что функция $y = F(x)$ является первообразной
для функции $y = f(x)$.
$F(x) = x^2−e^{2x}+2$, $f(x) = 2x−2e^{2x}$
Доказательство.
$F'(x)=(х^2-е^{2х}+2)'=2х-2е^{2х}$
По определению первообразной, $F'(x)=f(x)$, следовательно
$F'(x)$ и есть первообразная для функции $f(x)$